Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

9 Mathematiken som rationel Videnskab. 207 kaldes med et mere omfattende Ord. Hvorledes de er fremkomne hos Euklid, hører med til, hvad der skal beskæftige os; men det ses straks, at de er knyttede til en Sum af Erfaringer om den os omgivende, til Rum og Tid bundne, Verden. Derved er det, at den derpaa byggede Lære bliver skikket til at befæste og yder- ligere udvikle Forstaaelsen af den ydre Verden og gøre os denne underdanig. Om Anvendelsen dertil siger Euklid dog slet intet, ja han forlader end ikke sin paa Forudsætningerne byggede almindelige Fremstilling for at give Talexempler eller andre Exempler paa Anvendelse, hverken saadanne, som kunde tjene til Øvelse eller nøjere Forklaring af Sætningerne selv, eller saadanne, som kunde vise den Nytte, som de kan gøre ogsaa udenfor den geometriske Lærebygning. Den eneste Anvendelse, som gøres af de enkelte Sætninger, er Udledelsen af nye almindelige Sætninger, paa hvilke der straks, eller senere hen i Bogen, eller under fortsat viden- skabeligt Arbejde kan bygges videre. Denne Form for en renl rationel Behandling fulgtes nøje af Euklids Efterføl- gere. Hvor det — med eller ofte uden Grund — har forekommet disse, at Euklid har brugt en Forudsætning uden at betinge sig Ret dertil ved forud udtrykkelig at opstille den som saadan, har de tilføjet den. Naar de gaar udenfor det af Euklid behandlede Omraade, begynder de med at opstille de for dette Omraade gældende Forudsætninger, som man vil gøre Brug af. Dette gør saaledes Archimedes. Forud for Bestemmelsen af krumme Liniers Længde og krumme Fladers Areal og for sine statiske Undersøgelser forklarer han de nye Begrebers Betydning ved De- finitioner og Postulater, og ogsaa her er Betingelsen for, at man skal følge hans Udvikling og tiltræde hans Slutninger, den, at man anerkender de opstillede For- udsætninger; men heller ikke han siger, hvorfra han har disse. — Paa anden Vis følger man i Nutiden i Hovedsagen den samme Regel, naar man begynder med at opstille Betydningen af de mathematiske Tegn, som man bruger, og Reglerne for Operationer med disse. Ved en saadan udtrykkelig Udtalelse af de Egenskaber, man i sin Undersø- gelse vil tillægge de Begreber, hvormed man vil operere, løsrives disse fra den Sansning, hvoraf de oprindelig er fremgaaede, og kan som Symboler anvendes paa alle de Omraader, hvorpaa de opstillede Forudsætninger passer. Alle Operatio- ner sker nemlig i Kraft af disse Forudsætninger. Uden her at prøve, i hvilket Maal Euklid virkelig maatte have naaet dette, kan vi om den beskrevne principielle Fremgangsmaade sige, aide saaledes indførte ideale Figurer: Punkt uden Udstræk- ning, Linie uden Tykkelse o. s. v., Linier, hvis Punkter er underkastet en i Ord udtalt Lov, men som ikke nøjagtig lader sig konstruere, lige saa vel kan anvendes som Symboler som den nyere Mathernatiks Bogstavsymboler og Operationstegn. Ogsaa Bogstaverne løsrives ganske fra deres Brug som Lydtegn; men de opstillede Regler for de betegnede Operationer maa nøjagtig angives og følges. Saa kan man ved at tillægge Bogstaverne forskellige Talværdier under et underkaste disse de samme Operationer, ja man kan endog som i Operalionskalkylen lade Bogstaverne QQ l) K. I). Vidensk- Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Række. I. fi. *