Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

208 II. Kapitel. 10 betegne forskellige Operationer, naar disse skal underkastes saadanne Kombinationer, paa hvilke de klart udtalte Regler lader sig anvende. En saadan exakt Brug af Symboler er væsentlig forskellig fra den Brug, som man gør af Billeder ikke blot i Poesi, men jævnlig ogsaa i filosofiske Un- dersøgelser. At denne sidste Brug kan gøres med Haab om et rigtigt Udbytte, be- ror paa, at der er nogen Sandsynlighed for, at den Overensstemmelse, som ligger til Grund for Valget af Billedet kan være forbunden med saadanne fælles om end ukendte Aarsager, som fører til ensartede Resultater paa begge Omraader: Billedet og det Afbillede. Deri ligger Analpgislutningens Berettigelse som en foreløbig Slut- ningsmaade, der rigtignok trænger til yderligere Bekræftelse. En tilsvarende bil- ledlig Brug gør man af den exakte Videnskabs Symboler, naar man anvender dem udenfor det Omraade, for hvilket Operationer med Symbolerne er strengt define- rede, naar man f. Ex. gør almindelige Slutninger fra en tegnet Figur uden at sikre sig, at de om denne anstillede Betragtninger gælder for alle de ideale Figurer, som den skal fremstille, eller naar man anvender litterale algebraiske Operationer, hvis Betydning kun er sikrel for hele, eller positive, eller rationale, eller reelle, eller endelige Størrelser, paa henholdsvis brudne, negative, irrationale, imaginære, uendelig store eller smaa Størrelser eller paa uendelig mange. Historisk var op- rindelig den litterale Algebra kun forklaret for rationale og positive Størrelser. Udenfor dette Omraade var dens „Symboler“ kun, hvad vi her har kaldt „Billeder“, hvis Brug dog gennem „Analogislutninger“ kunde føre til rigtige Resultater, som saa bagefter trængte til en nærmere Forklaring. Delte gjaldt f. Ex. om Forklaring af en funden negativ Rod i en Ligning. En udtrykkelig Udvidelse til irrationale Stør- relser gav først Descaktes i Begyndelsen af La Géométrie, og dens Exakthed sikrede han ved Henvisning til den, som de Gamle forlængst havde opnaaet for deres geo- metriske Symboler. Exakt blev Anvendelsen af Algebraens Symboler paa imaginære Størrelser først omkring Aaret 1800, da Wessel, Argand og Gauss gav en nøjagtig Bestemmelse af, hvad Operationerne i dette Tilfælde betyder. Og Mathematikens Historie viser, at Anvendelsen af Algebraens Symboler paa uendelig store eller smaa Størrelser og paa uendelig mange Størrelser kan føre til urigtige Resultater. Derfor har de maattet underkastes nye Regler for ogsaa her at kunne faa en exakt An- vendelse. Det blev lige berørt, at ogsaa den gamle Geometri kunde faa en symbolsk An- vendelse. Den har faaet en saadan til exakt og almindelig Fremstilling af algebra- iske Operationer og Resultater. Lige saa tidlig, som man kendte den pythagoreiske Sætning, har man vidst, at naar Siderne i en retvinklet Trekant kan udtrykkes ved hele Tal a, b og c, kan man give Sætningen to forskellige Former, nemlig: a2-\-b2-=c2, og: Summen af Kvadraterne med Siderne a og b er ligestor med Kva- dratet med Siden c. Da man imidlertid opdagede, at, som vi nu siger, V2 er ir- rational, var kun den sidste Udtryksmaade mulig, naar Trekantens Katheter er ligestore. For at undgaa den Vanskelighed, som i den arithmetiske Bestemmelse nu overvindes ved en Udvidelse af Talbegrebet med saadanne irrationale Tal som