Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

210 III. Kapitel. 12 af Pyramidens og Keglens Rumfang og ved Opdagelsen af, at der ikke gives uende- lig mange Slags regulære Polyedre som uendelig mange Slags Polygoner, men kun fem. Det ses ogsaa, at man paa forskellig Maade var inde paa Veje til at imøde- komme disse Krav.1) Paa en fuldt ud tilfredsstillende Maade kunde dette dog først ske ved en konsekvent Opførelse af en Lærebygning af den logiske Form, som er skildret i forrige Kapitel. Uden det vil Geometrien bestaa af en mere eller mindre tilfældig Blanding af Resultater vundne ved Intuition og saadanne, som man deraf har udledet ved rigtige Slutninger. Dette maa saaledes have været Tilfældet med de Elementer, som allerede Hippokrates siges at have skrevet. Den forstandsmæssige Side af Mathematiken vakle i høj Grad Platon’s In- teresse. Denne gjaldt ikke mindst de irrationale Størrelser; den Egenskab, der skil- ler dem fra de rationale, træder nemlig, naar de fremstilles geometrisk, slet ikke frem for Intuitionen og har ingen Betydning for praktiske Anvendelser, i hvilke en tilstrækkelig nær Tilnærmelsesværdi er lige saa god som den mathematisk exakte Værdi. Den er saaledes kun til for den forstandsmæssige Behandling af Mathema- tiken og maatte netop derfor interessere Platon. I „Lovene“ bebrejder han sine Landsmænd, at de ikke tidligere har bemærket, at der existerer saadanne Størrel- ser, og i „Theaitet“ fremhæver han denne Mathematikers Fortjenester af Paavis- ningen af, hvilke Rodstørrelser der er irrationale. Den systematiske Maade, hvorpaa Bestemmelsen heraf, i Overensstemmelse med Theodoros’ Indførelse af Begrebet in- kommensurable Størrelser, sker ved Tilknytning til Methoden til at finde største fælles Maal (Oversigt, 1910 og 1915), har aabenbart vakt hans Beundring. Ikke mindst paa dette Punkt nærmer Mathematiken sig til at realisere hans Ideal af en Videnskab, der helt opføres efter rationelle2) Grundsætninger; ja dette Ideal er vel for en Del blevet til ved Betragtning af, hvad han allerede forefinder i Mathema- tiken. Hans og hans nærmeste Efterfølgeres Bestræbelser efter al opnaa det samme for andre Videnskaber træder frem i hans og deres Forsøg paa at føre Egenskaber ved Tal og ved Figurer ind i Forklaringen af andre Naturforhold, hvori han iøv- rigt følger Pythagoreernes Exempel. Herhen hører det gaadefulde saakaldte Mathe- matiske Tal, der efter de fremkomne Løsninger af Gaaden næppe har frembudt synderlig mathematisk Interesse, og Speusippos’ Anvendelser af de arithmetiske Forbindelser mellem Tallene 1 — 10, hvis mathematiske Interesse kun knytter sig til den Omhu, hvormed man har fremhævet de allersiinpleste Talforbindelser; end- i) Jeg henviser til mine Afhandlinger i Kgl. Danske Videnskabernes Selskabs Oversigt: Sur la constitution des livres arithmétiques des Elements d’Euclide et leur rapport å la question de l’irrationalité. 1910. Sur les connaissances géométriques des Grecs avant la reforme platonicienne de la géométrie. 1913. —- Sur l'origine historique de la connaissance des quantités irrationelles. 1915. Citeres som: Oversigt 1910, 1913, 1915. «) Den paa dansk (og tysk) gældende Sprogbrug er her for saa vidt mindre heldig, som rational og rationel kommer til at betyde ganske forskellige Ting. Ovenfor kunde man saaledes have sagt: Det, der karakteriserer irrationale Størrelser, er kun til for en rationel Betragtning. Stort bedre bli- ver det ikke, naar man paa fransk, hvor rational kaldes „rationnel“, kan udtrykke det, vi her har kaldt rationel, ved „raisonné“.