Matematikkens Historie I

13. Overblik over Euklids Elementer. 95 tionen af den regulære Trekant, Firkant, B'emkant, Sex- kant og Femtenkant. Euklids personlige Arbejde med disse Bøger er vel især gaaet ud paa, nøjagtigere end det hidtil var sket, at fremstille dette bekjendte Stof i Overensstemmelse med de efterhaanden strengere formelle Fordringer, som stilledes. Et egentligt mathematisk Arbejde kan ogsaa have været forbundet hermed. Proportioner anvendtes nemlig, som vi ofte have set, i Geometrien, ogsaa før Eudoxos’ exakte Proportionslære blev til. Naar man da i mange Tilfælde alligevel maatte ty til en blot paa Læren om rationale Størrelser bygget Proportionslære, har det ikke spillet saa stor en Rolle, om den brugtes lidt tidligere eller senere. Euklid derimod kjendte Eudoxos’ Lære om Proportioner. Den var imidlertid for ny til allerede at kunne faa Plads i Begyndelsen af Systemet og maatte opsættes til femte Bog. Før denne maatte altsaa enhver, aabenbar eller skjult, Brug af Proportioner og Ligedannethed absolut undgaas. Det ligger nær at antage, at det netop var dette Hensyn, der tvang Euklid til —- som tidligere berørt — selv at udtænke det Bevis for den pythagoræiske Læresætning, som findes i Slutningen af hans første Bog. For at gjøre forstaaeligt, at det overhovedet var muligt at komme saa vidt uden Proportioner, skal jeg minde om, at man ved den geometriske Algebra havde bevist Sætningerne om et Punkts Potens med Hensyn til Cirklen (III, 35—37). Disse Sætninger anvendes til at konstruere en ligebenet Trekant, hvor Vinklen ved Toppunktet er halvt saa stor som Vinklerne ved Grundlinien (IV, 10). Grundlinien er da Side i en regulær Femkant med samme omskrevne Cirkel som denne Trekant (IV, 11). I 5. Bog fremsættes dernæst Eudoxos’ Proportions- lære, og i 6. Bog dens Anvendelser ej blot paa Geo-