Matematikkens Historie I

96 Den græske Mathematik: metrien, men, som vi ville faa at se, ogsaa til Udvidelse af den geometriske Algebra. Mellemproportiona] konstruk- tionen og en ret Linies Højdeling, der i anden Bog vare erholdte i anden Form ved den geometriske Algebra, komme her igjen som knyttede til Proportionslæren, nemlig i VI, 13 og 30. Hvor mange af de enkelte Sætninger og Beviser der i disse. Bøger skyldes Eu- doxos, og hvor mange der tidligere have været knyttede til en mindre exakt Proportionslære, vide vi ikke. Eu- klid har vistnok Æren for at have sammenarbejdet, det til en systematisk Helhed. I denne Helhed har han dog ikke indarbejdet den specielle Lære om rationale Størrelser og om de hele Tal, ved hvis Forhold disse udtrykkes. Den fremstilles i 7—9. Bog og kommer altsaa vel bagefter den almindelige Proportionslære, men er ikke bygget paa den. Beviserne ere rimeligvis de samme, som man har benyttet før Eudoxos’ Tid, og hvorfra Resultaterne den Gang bleve overførte ogsaa paa irrationale Størrelser. De irrationale Størrelser selv behandles i 10. Bog. Her findes den Klassifikation af disse, som Theaitetos har begyndt, men som Euklid siges at have fuldstændig- gjort. Her og ved Klassifikationens Anvendelse paa Be- stemmelsen af de regulære Polyedres Stykker finder man vistnok Euklids betydeligste personlige Arbejde. Før denne Anvendelse er det dog nødvendigt, at den elementære Stereometri udvikles. Dette sker i 11. Bog. Beregning af Pyramidens Volumen kræver infinitesimale Grænsebestemmelser; disse vindes, om de end formelt oingaas, ved Eudoxos’ Exhaustionsbevis, som anvendes dertil i 12. Bog, efter at det først har været brugt til den anden i den elementære Geometri nødvendige Grænsebestemmelse: Beviset for, at to Cirkler forholde sig som Kvadraterne paa Diametrene. Først i