Matematikkens Historie I

13. Overblik over Euklids Elementer. 97 13. Bog kommer Bestemmelsen af de regulære Polye- dres Stykker. Som det ses, er til en vis Grad ensartede Emner, saasom Læren om irrationale Størrelser, og ensartede Fremgangsmaader, saasom Anvendelser af Exhaustions- beviset, stillede sammen. Tildels skyldes denne Sammen- stilling dog kun den tidligere historiske Udvikling, og det er i hvert Fald først i anden Række, at Euklid kan tage Hensyn dertil. I Henhold til de i den foregaaende Tid udviklede strenge logiske Principer, til hvis yder- ligere Skjærpelse Euklid har bidraget ved sit Skrift om Fejlslutninger, var den logiske Uangribelighed Hovedsagen. Medens denne for det enkelte Problems eller Theorems Vedkommende, som vi have set, sikredes ved den synthetiske Fremstilling, gjaldt det saavel inden- for hver enkelt Bog som i hele Værket om at ordne de enkelte Problemer og Theoremer saaledes, at det Grundlag, hvorpaa, og det Materiale hvoraf, hvert nyt skulde opføres, allerede var bragt tilstede ved de fore- gaaende. Vi have i den Henseende anført, at end ikke et Midtpunkt af en ret Linie turde bruges i et Bevis, uden at dets Existens først var bevist ved Konstruktion. En saadan Sammenføjning af Sætninger, i hvilken man, som i et synthetisk Bevis for en enkelt Sætning, gaar over fra det bekjendte til det ubekjendte og derfor hæver sig fra det simple og enkelte til det mere sammen- satte og mere almindelige, ville vi kalde en synthetisk Lærebygning — uden dog at have nogen umiddelbar antik Hjemmel for denne Betegnelse. I en saadan Lære- bygning spiller Udgangspunktet og Slutningen en særegen Rolle. Hvad Udgangspunktet angaar, saa er det aabenbart, at der forud for de Problomer, hvis Løsningør er© sammensatte af dem, der ere givne af tidligere Pro- 7