Matematikkens Historie I

13. Overblik over Euklids Elementer, 99 tagen for sig, henimod at faa netop det med, som er logisk nødvendigt for at naa til det Grundlag for den i næste Bog udviklede geometriske Algebra, der danner første Bogs Slutsten, nemlig Gnomonsætningen I, 43 og den pythagoræiske Læresætning I, 47. Ogsaa her med- tages dog et foreløbigt Maal, som naas midt i Bogen i Forbindelse med den for Hovedformaalet nødvendige Paralleltheori, nemlig Sætningen (32) om Vinkelsummen i en Trekant. løvrigt indeholder Bogen Sætninger om rette Liniers Stilling mod hinanden, om vinkelrette og parallele Linier med tilhørende Konstruktioner, om Tre- kanters Kongruens og Konstruktion, og Afhængigheden mellem Siders og Vinklers Ligestorhed og Uligestorhed i en Blanding, som kun er lidet overskuelig, men som er en Følge af den logisk vel sikrede Maade, hvorpaa Sætningerne efterhaanden ere byggede op paa hinanden. Exempelvis skulle vi nævne, at Sætninger om Trekantens Kongruens findes i 4, 8 og 26, og at Euklid ikke finder Anledning til at undersøge Kongruensen af Trekanter med en Vinkel, en hosliggende og en modstaaende Side lige. For Sætninger herom har han nemlig ingen Brug, hvorimod han i 6. Bog, hvor han sammenstiller Sætninger om Trekanters Ligedannethed, ogsaa behandler det hertil svarende Tilfælde. I Slutningen af Bogen ere Sætninger om Arealer mere samlede. Idet vi her have opstillet Begrebet synthetisk Lærebygning, skulle vi for Modsætningens Skyld — og da vi ønske ogsaa uden for Anvendelsen paa de gamles Skrifter at faa fuld Klarhed paa Betydningen af Analyse og Synthese — berøre, hvad vi vilde for- staa ved en analytisk Lærebygning. Medens man i den syn- thetiske Lærebygning først efterhaanden hæver sig til Betragtningen af mere og mere sammensatte eller mere almindelige Forhold, tager man i den analytiske Lærebygning et almindeligt Princip, som netop ved sin Almindelighed kan have en vis Simpelhed, til Udgangspunkt og udvikler ud fra dette de Forhold, som maa gjøre 7*