Matematikkens Historie I

14. Euklids geometriske Forudsætninger. 101 de ere langtfra at staa paa Højde med de formelle og logiske Fordringer, som vi have sagt, at de gamle stillede. Man vil saaledes se, at adskillige af Definitionerne slet intet sige om det, som skal defineres, og ingen Sikkerhed give for, at der virkelig existerer noget, som svarer til Definitionerne. Definitionen paa en ret Linie siger ikke mere, end om man havde sagt: der er en vis Art Linier, som kaldes rette. Hvad det er for nogle Linier, altsaa de Egenskaber ved Linierne, som man i vore Dage vilde bruge til Definition, udsiges først i Postulaterne, som altsaa sige: vi ville gaa ud fra, at den rette Linie har de og de Egenskaber. Ogsaa Postulaterne og Axiomerne ere tildels udtrykte med en Korthed, der kan gjøre dem gaadefulde, og som danner en stærk Modsætning til den forsigtige Udførlighed, hvormed alt medtages i de egent- lige mathematiske Sætninger og deres Beviser. Sagen er, at til Definitioner, Postulater og Axiomer henvises alt det, som Mathematikeren vil have Lov at forudsætte i selve Lærebygningen uden enten at give nogen Forklaring, Beskrivelse af hvorledes eller Be- grundelse af hvorfor. Det er hans Sag forud at give en nøjagtig Fortegnelse over, hvad det er, han vil forudsætte, og den maa være saa tydelig, at den, saa- snart han skal bruge den, giver klar Besked, saa det da ses, at han hverken bruger mere eller mindre end det, han har betinget sig Ret til; men de Abstrak- tioner, som have ført til Opstilling af Begreberne og til i Postulater og Axiomer netop at tillægge dem disse bestemte Egenskaber, ja selv en foreløbig Paavisning af, at han virkelig har opfyldt den Fordring hverken at til- lægge dem for mange eller for faa Egenskaber, ved- komme ikke ham. Han er som Mathematiker kun ansvarlig for, at den, der indrømmer ham alle disse Ting, derefter ved hans sikre Slutninger maa tvinges