Matematikkens Historie I

14. Euklids geometriske Forudsætninger. 105 5. At, naar en ret Linie, som skjærer to andre rette Linier, paa samme Side danner indvendige Vinkler, som tilsammen ere mindre end to rette, de sidstnævnte to Linier ved at forlænges i det uendelige ville skjære hinanden til den Side, hvor Vinkelsummen er mindre end to rette. De Konstruktioner, af hvilke alle andre ifølge disse Postulater skulle sammensættes, ere de, som praktisk udføres ved Linea] og Passer. Det er dog vildledende blot ensidig at fastholde dette. Det viser sig blandt andet derved, at man da ikke ret faar Plads til de to sidste Postulater, hvorfor endog meget gamle Udgivere have ladet sig forlede til at flytte disse hen blandt Axiomerne. Som det ses, nævnes Lineal og Passer, ved hvis Brug man jo ogsaa kun kan give et ufuldstændigt Billede af den mathematiske rette Linie og Cirkel, end ikke i de tre første Postulater. Disse give, som vi alt have sagt om Euklids Forudsætninger overhovedet, slet ingen Oplysning om, hvorfra, eller ved hvilke Midler man 'tilvejebringer det, som forlanges forudsat. I Overens- stemmelse med, at de gamle Problemer væsentlig ere Existenssætninger og Løsningerne give Existensbeviser, ere Postulaterne Existenspaastande, som kræves anerkjendte uden Bevis eller Eftervisning. De Paa- stande, som indeholdes i de 3 første Postulater, gaa da kun ud paa, at der er en ret Linie gjennem to vil- kaarlige givne Punkter, at denne kan forlænges uden Grænse, og at der er en Cirkel med et vilkaarligt op- givet Centrum og en vilkaarlig opgiven, ved dette be- liggende Radius, eller med andre Ord en saadan, som har et givet Centrum og gaar gjennem et givet Punkt. At det tredie Postulat virkelig er saaledes at forstaa, og ikke fordrer indrømmet uden Bevis Existensen af en Cirkel med givet Centrum og Radius given et andet