Matematikkens Historie I

106 Den græske Mathematik: Sted i Planen, ses strax derved, at Euklid i Sætning 2 viser, at Bestemmelsen af en saadan Cirkel ved Hjælp af den i Sætning 1 meddelte Konstruktion af en ligesidet Trekant lader sig sammensætte af dem, der ere postu- lerede. Da dette virkelig lader sig gjøre, har Euklid ved den anførte Indskrænkning af det 3. Postulat kun opfyldt den allerede omtalte Pligt: ikke at forudsætte for meget. Var der derimod Tale om den praktiske Udførelse ved Passeren, havde det været ligegyldigt, hvor den opgivne Radius laa; og man tør nok sige, at den i Sætning 2 viste Vej ikke har været bestemt til praktisk Udførelse af Tegningerne. Med denne Opfattelse af Postulaternes Betydning er det aabenbart, at man ikke har nok i at postulere Exi- stensen af de paa simplest Maade bestemte rette Linier og Cirkler. De geometriske Konstruktioner udføres ved, at man ved forskjellige Liniers Skjæring bestemmer Punkter, som atter kunne benyttes ved Bestemmelsen af nye Linier. Da maa Skjæringspunkternes Existens postuleres lige saa vel som Liniernes; thi den kan umulig være en Følge af denne sidste. I 5. Postulat opstilles det derfor udtrykkelig som en ny Forudsætning, at to rette Linier skjære hinanden, hvorved dog maa gjøres den Indskrænkning, som er nødvendig, for at Paastanden virkelig skal blive sand, en Indskrænkning, der her spiller ganske samme Rolle, som Diorismen til et Pro- blem. Uden at Skjæringspunktets Existens var krævet i 5. Postulat, vilde de Løsninger af Problemer, hvor Skjæringspunkter mellem rette Linier benyttes, i Al- mindelighed slet ikke give de Existensbeviser for de konstruerede Figurer, som skulde være Konstruktionernes væsentligste Udbytte. Er nu denne Betragtning rigtig, vil man imidlertid savne Postulater, som paa lignende Maade kræve Exi-