Matematikkens Historie I

14. Euklids geometriske Forudsætninger. 107 stensen af Skjæringspunkter mellem ret Linie og Cirkel eller mellem to Cirkler anerkjendt. Vel maa den fuld- stændige Afgrænsning af de Tilfælde, hvor Skjæringen virkelig finder Sted,. allerede kræve Udviklingen af flere Sætninger, og det er maaske den Omstændighed, at Euklid derfor ikke strax kan give denne Afgrænsning i al Almindelighed, som har afholdt ham fra at opstille hertil tjenende Fordringssætninger. For overhovedet at kunne benytte Cirklen i Konstruktioner, ere dog i det mindste nogle Forudsætninger om dens Skjæring med ret Linie og med andre Cirkler nødvendige. Hvilke Euklid benytter, maa man søge i selve de Anvendelser, han gjør. Man ser da i Sætning I, 12, at han for at være vis paa, at en Cirkel med givet Centrum skjærer en vis ret Linie, lader den gaa gjennem et Punkt paa den Centrum modsatte Side af Linien, og at han dels i Sætning 1, dels i Sætning 22 betragter det som ind- lysende, at en Cirkel med Centrum paa eller indenfor en andens Periferi, og som gaar gjennem et Punkt udenfor denne, skjærer den i to Punkter. At det er paa disse Forudsætninger, han bygger, træder tydelig nok frem paa de paagjældende Steder, og andre Steder forudsættes intet om Skjæring mellem Cirkel og ret Linie eller Cirkel, førend det dertil fornødne er bevist. Indeholder de af Euklid udtrykkelig opstillede Forudsætninger da slet intet om disse faktiske Forud- sætninger, hvilke Euklid paa de anførte Steder, navnlig i Nr. 12, er sig fuldt bevidst? Postulaterne gjøre det i hvert Fald ikke; men som vi have set, ere Forskjellene mellem Postulater og Definitioner ikke saa udprægede, at man alene behøver at søge blandt de første. Det er da klart, at Euklid kan søge Berettigelse til at bruge disse Forudsætninger deri, at han i Definitionerne har