Matematikkens Historie I

 14. Euklids geometriske Forudsætninger. 109 et andet Postulat, som udtrykker, at ogsaa den i første Postulat givne Bestemmelse af en ret Linie ved to Punkter er entydig. Af denne Entydighed gjør Euklid udtrykkelig Brug i Sætning I, 4, hvor han i sin Bevis- førelse bruger det Argument, at «to rette Linier ikke kunne indeslutte noget Fladerum»; men denne Paastand, der netop er den samme som den, at 1. Postulat er entydigt, findes ikke opstillet blandt Forudsætningerne. Her er en utvivlsom Inkonsekvens tilstede. Denne er allerede bemærket i Oldtiden og har bragt Udgivere til netop at medtage den i I, 4 udtrykkelig benyttede Forud- sætning enten — og vist nok tidligst — blandt Postu- laterne, hvor den har samme Krav paa at findes som Postulat I, 4, eller blandt Axiomerne. Dette nye Po- stulat udtrykker tillige, at et Punkts Bestemmelse ved 5. Postulat som Skjæringspunkt mellem to rette Linier er entydig. Entydigheden af 3. Postulat om en Cirkels Be- stemmelse ved Centrum og Radius behøver derimod ikke at forudsættes. Man kan nemlig atter her benytte, at Cirklen allerede i Definitionerne er fuldstændigere bestemt end en ret Linie. Dette sætter Euklid istand til i 3. Bogs 5. og 6. Sætning at bevise, at koncentriske Cirkler ikke kunne skjære eller berøre hinanden, altsaa at det fuldstændige geometriske Sted for de Punkter, som have samme Afstand fra et givet Punkt som et andet, kun bestaar af én lukket Kurve, med andre Ord, at 3. Postulat kun giver én Cirkel. Euklids 1., 2., 4. og 5. Postulat, supplerede med den i Sætning I, 4 benyttede Forudsætning, at 1. Po- stulat skal give en entydig Bestemmelse, og, som vi skulle se, med en i 7. Axiom indeholdt Forudsætning, udtrykke alle de Egenskaber ved den rette Linie, som ligge til Grund for dens Brug i Geometrien. Uformærkt,