Matematikkens Historie I

110 Den græske Mathematik: ja, som vi skulle se, endog uden selv helt at blive det var, har Euklid imidlertid med det samme faaet Planens Grundegenskaber opstillede. Dennes udtrykkelig opstillede Definition (I, 7) er i sig lige saa intetsigende som den rette Linies. Planen nævnes endnu i Definitionerne I, 8 og I, .15, hvor det udtales, at en Vinkels Ben skulle ligge i samme Plan, og at Cirklen er en plan Figur. Af større Betydning er det, at det i de opstillede Postu- later stiltiende forudsættes, at de forskjellige Bestemmelser finde Sted indenfor en og samme Plan. Uden dette vilde femte Postulat ligefrem blive meningsløst. Den Egenskab, som navnlig ved første og andet Axiom til- lægges en Plan, bliver nu den at indeholde enhver ret Linie, som gaar gjennem to af dens Punkter, samt dens Forlængelse i det uendelige. Havde Euklid selv ud- trykkelig slaaet dette fast, kunde han deri have faaet et virkeligt Grundlag for de tre første Sætninger i 11. Bog, som udsige, at en ret Linie, som delvis ligger i en Plan, ikke kan gaa udenfor den, at to rette Linier, der skjære hinanden, ligge i (og bestemme) en Plan, og at to Planers Skjæringslinie er ret. Nu opstiller han nogle andre Beviser, at hvilke det for XI, 1 maa for- udsætte Rigtigheden af XI, 2, som omvendt er bygget paa XI, 1. I principiel og formel logisk Henseende staar Euklids Behandling af Stereometrien i det hele tilbage for hans Plangeometri, hvorpaa vi skulle se et endnu vigtigere Exempel ved Omtalen af hans Axiomer. Det vil dog vise sig, at trods denne Mangel hos de græske Mathematikere, deres Kjendskab til selve de stereometriske Sætninger og Operationer havde et. ret betydeligt Omfang. Medens vi ved Definitioner og Postulater tildels have maattet tage vor Tilflugt til de Anvendelser, som