Matematikkens Historie I

14. Euklids geometriske Forudsætninger. Ill Euklid i sine Sætninger faktisk har gjort deraf, for at faa nøjagtig Besked om de Forudsætninger, som de skulle udtrykke, give de Axiomer i første Bog, hvis Ægthed anses for utvivlsom, og med hvilke vi derfor udelukkende ville beskjæftige os, nemlig1 1.—3 og 7—8, en lige saa kort som klar Besked om Grundlaget for Anvendelserne af Begreberne: Ligestorhed og Uligestor- hed paa Størrelser i Almindelighed, og særlig paa geo- metriske Størrelser. Det første Bidrag til Begrebet Ligestorhed gives i Axiom 1: Størrelser, som ere lige store med en og samme Størrelse ere indbyrdes lige store. At Benævnelsen «ligestor» forekommer i For- klaringen paa Begrebet Ligestorhed, gjør ikke denne B^orklaring værdiløs, hvad man blandt andet, kan se af, at man ikke kan sætte «uligestor» i Stedet for «iigestor» i den i Axiomet indeholdte Forklaring. Denne er imid- lertid ikke tilstrækkelig til at give et anvendeligt Størrelses- begreb. Der maa tages med, at en Størrelse ikke for- andres ved Deling, efterfulgt af Sammensætning af alle Delene. Dette indeholdes i Axiomerne 2 og 3, som udsige, at ligestort lagt til eller trukket fra ligestort giver ligestort. Det maa endvidere, naar man ogsaa vi] have Uligestorhed med, medtages, at man faar noget mindre ud ved ikke at tage alle Delene med, hvilket udsiges i Axiom 8: det hele er større end en Del. Herved er ogsaa givet Forklaring paa Addition og Sub- straktion af almindelige Størrelser, og der er deri inde- holdt, at Addendernes Orden er ligegyldig. Naar Stør- relsesbegrebet i en moderne Arithmetik2 defineres saa- ledes, «at de Egenskaber ved Gjenstandene, der ikke forandres, naar deres Dele sammensættes i forskjellig 1 Se Heibergs Udgave. 2 Jul. Petersens.