Matematikkens Historie I

14. Euklids geometriske Forudsætninger. H3 enhver Undersøgelse af Størrelser i Geometrien. Kon- gruensen er det allerede ved den praktiske Udmaaling, som bestaar i efterhaanden at optælle en Række Dele af det, der skal maales, som ere kongruente med Maalet. Den er det fremdeles saave] i Euklids egen som i alle følgende Lærebygninger, som behandle geometriske Stør- relser: man gaar ud fra, at visse Størrelser ere lige store, fordi de ere kongruente, og ulige store, fordi den ene selv er, eller er kongruent med, en Del af den anden. Det er denne Fremgangsmaade Euklid anvender i første Bog for at vise, hvorledes Ligestorhed og Ulige- storhed af Sider eller Vinkler i samme eller forskjellige Trekanter medføre hinanden. Resultaterne heraf kom- binerer han derpaa med de almindelige Størrelsesforud- sætninger. Ja han stræber endog at anvende det særlig geometriske Kongruensprincip saa lidt som muligt. Saa- ledes benytter han i I, 26 ikke umiddelbart Kongruensen for at bevise, at Trekanter med en Side og de hosliggende Vinkler stykkevis lige store ogsaa have de andre Stykker lige, men slutter dette antithetisk fra de tidligere Kon- gruenstilfælde For rette Liniers og for Vinklers Vedkommende falder Ligestorhed sammen med Kongruens. For brudte Liniers, Arealers og Rumfangs Vedkommende kan man derimod efter først at have paavist Ligestorhed ved Kongruens paavise Ligestorhed uden Kongruens ved Sammensætning ifølge de almindelige Størrelsesforudsætninger, saaledes som det f. Ex. sker i Beviset I, 35 for, at Parallelo- grammer med samme Grundlinie og Højde ere lige store. Til Størrelsen af krumme Linier og de Arealer, de be- grænse, samt af de fleste Rumfang, kan man kun komme ved Grænseovergange, som de gamle udførte ved Exhaust- ionsbeviset, og som tildels tillige kræve Opstilling af nye Forudsætninger. Dette ville vi faa at se ved Omtalen 8