Matematikkens Historie I

114 Den græske Mathematik: dels af Euklids 12. Bog, dels af Archimedes’ Ar- bejder. Vi bør derimod strax omtale, at der er en meget væsentlig Mangel i den Brug, som Euklid i Stereo- metrien gjør af det i 7. Axiom opstillede Kongruensaxiom. Den hænger sammen med, at man i hans Stereometri savner enhver Skjelnen imellem Kongruens og Symmetri, men viser dog, at han ikke antager sym metriske Figurer for kongruente. I saa Fald vilde han nemlig i 7. Axiom have ment at have et tilstrækkeligt Grundlag for sine Volumenbestemmelser. I Stedet herfor opstiller han en ny Forudsætning, som kan passe baade paa kongruente og symmetriske Figurer. I 11. Bogs 10. Definition defineres ligestore og ligedannede Rumfigurer som saadanne, der indesluttes af lige mange ligestore og ligedannede (o: kongruente) plane Figurer. Definitionen indeholder foruden en Navnebetegnelse til- lige en geometrisk Forudsætning, altsaa et Axiom, nemlig at disse Figurer ogsaa skulle være lige i Rumfang1. Dette anvendes dels i Beviset i XI, 29 for, at Parallel- epipider med samme Grundflade og Højde ere lige store, dels sluttes deraf i XI, 28, at de to tresidede Prismer, hvoraf et Parallelepipedum bestaar, ere lige store. Det vides, at de Prismer, som omlægges i det første af disse Beviser, ere kongruente, og at de tresidede Prismer i den sidste Sætning ved Omlægning af Dele kunne om- dannes til at blive kongruente. Dette kan Euklid ikke have bemærket; thi da vilde Indførelsen af et nyt Princip for Ligestorhed for Legemers Vedkommende være over- flødig og derfor stridende mod hans sædvanlige Frein- gangsmaade. 1 Cauchy har bevist, at saadanne Figurer virkelig altid ere kongruente eller symmetriske.