Matematikkens Historie I

14. Euklids geometriske Forudsætninger. 115 I den her paapegede Brug af 7. Axiom er dette blot blevet et Kjendetegn eller, om man vil, en Definition paa geometrisk Ligestorhed; men i alle Tilfælde gjemmer det i sig en virkelig geometrisk Forudsætning eller et Axiom af meget væsentlig Betydning. Dette gaar ud paa, at der overhovedet kan være Tale om kongruente Figurer, altsaa om Flytning af Figurer til andre Steder i Rummet. Ifølge Euklids Axiom bestemme de geometriske Størrelser alt det, som bliver uforandret under en saadan Flytning. Hvori selve Flytningen skal bestaa, karakteriseres dog slet ikke, -ja den nævnes ikke engang i Axiomet, men Anvendelserne vise, at der tænkes paa den empiriske Flytning, som kjendes fra de fysiske, saakaldte uforanderlige Legemer. Naar vi tidligere have berørt, at Axiom I, 7 er nødvendigt til fuldstændig at karakterisere en ret Linie, saa tænktes derved netop paa, at Euklid, f. Ex. i Be- viserne for Kongruenssætninger, bestemt benytter den Forudsætning, at en ret. Linie ikke forandres ved Flytning. 15. Anmærkning om Geometriens Forudsætninger, Naar man kombinerer den sidstnævnte Egenskab ved den rette Linie med dem, der alt vare udtrykte i Postulaterne, derunder En- tydigheden af Bestemmelsen ved to Punkter, bliver den rette Linie defineret som en saadan, der i hele sin Udstrækning falder sammen med en anden ret Linie, naar den flyttes saaledes, at to Punkter gjøre det. At denne Definition ikke er nogen Cirkeldefinition, uagtet den rette Linie bestemmes ved Sammenlægning med en anden ret Linie, ses derved, at ingen anden Linie har denne Egen- skab. Derimod er Axiomet om Muligheden af en Flytning forudsat. Efter Definitionen faas en ret Linie som geometrisk Sted for de faste Punkter af et Legeme, som drejer sig, medens to Punkter ligge fast. Konstruktionen af rette Linier ved en Lineal, det er ved en bevægelig ret Linie, følger ligeledes af Definitionen. 8«