Matematikkens Historie I

116 Den græske Mathematik: Denne Definition findes nu vel ikke hos Euklid, men den er en Sam mendragning af de Egenskaber, som han faktisk benytter, og som han eftei’haanden opstiller i Postulater og Axiomer. Disse bestemme dernæst Planen som en Flade, der helt indeholder enhver ret Linie gjennem to af dens Punkter. Denne Bestemmelse inde- holder imidlertid mere, end en god Definition bør, da deri Planen hverken defineres som geometrisk Sted for en enkelt uendelig Samling rette Linier eller for en dobbelt uendelig Samling Punkter. Man kan imidlertid dele Bestemmelsen i en Definition og et Axiom eller Postulat. Planen skal da først defineres som Stedet for de Linier, som forbinde et fast Punkt med en fast Linies Punkter, og der skal dernæst tilføjes som en ubevislig, men for den geometriske Lærebygning nødvendig Forudsætning, at denne Flade da har den nys nævnte almindelige Egenskab. Man kommer ikke ud over denne Vanskelighed ved som i en moderne Geometri1 at definere Planen som Stedet for Punkter, der have samme Afstand fra to faste Punkter. Det lykkes da vel i Stereometrien at bevise, at den saalecles definerede Plan virkelig indeholder enhver ret Linie, hvoraf den indeholder to Punkter; men det lykkes kun paa Grundlag af Plangeometrien, i hvilken man alt har gjort denne Forudsætning om den Plan, som indeholder alle de behandlede Figurer. For Planens Vedkommende gjøres endnu en Forudsætning, som ikke kan udledes af dens her opstillede Definition, nemlig den, som indeholdes i det 5. Postulat, at — bortset fra et nøjere be- tegnet Tilfælde — to rette Linier i samme «Plan skjære hinanden. Som vi have omtalt, gjør Euklid, om han end ikke saa tydelig fremhæver det, endnu en geometrisk Forudsætning, der ogsaa vedkommer retlinjede Figurer, nemlig den, at en i sig selv tilbageløbende (brækket eller krum) Linie i Planen indeslutter et Fladerum, og at den skjæres af enhver ret eller i sig selv tilbage- løbende Linie, som forbinder et ydre og et indre Punkt, i mindst to Punkter. Lignende Forudsætninger knytte sig til de lukkede Flader; men de spille først en Rolle, naar man gaar videre end Euklid. De geometriske Forudsætninger, som Euklid benytter, ere altsaa følgende: 1) Flytningsaxiomet, 2 og 3) de to anførte Forud- sætninger om en Plan, 4) Forudsætningen om lukkede Konturer (og Overflader). Han gjør i det væsentligste Rede for dem i sine 1 Jul. Petersens.