Matematikkens Historie I

15. Anmærkning om Geometriens Forudsætninger. H7 Definitioner, Postulater og Axiomer. Disse indeholde desuden For- klaringer af de brugte Benævnelser, og endelig de i Axiom 1—3 samt 8 indeholdte og klart udtalte Forudsætninger for den almindelige Størrelseslære. Disse indeholde ikke blot Ordforklaringer, men til- lige den til Opførelsen af en virkelig Størrelseslære nødvendige Forudsætning om Størrelsers Uforanderlighed og Foranderlighed ved Deling fulgt af Sammensætning af alle eller nogle Dele. Den tydelige Maade, hvorpaa de vigtigste geometriske Forud- sætninger saaledes fremtræde hos Euklid, har gjort det i hans Elementer opstillede Grundlag for Geometrien til et godt Udgangs- punkt for den nyere Tids Undersøgelser om de enkelte Forud- sætningers Rækkevidde og om deres indbyrdes Uafhæn- gighed. For saavidt de virkelig ere indbyrdes uafhængige, maa man nemlig kunne fastholde nogle og udlede Konsekvenser alene af dem, medens man giver Slip paa andre. Man faar derved en Almindeliggjørelse af Geometrien; thi de Sætninger, man da beviser, gjælde baade om det «Rum», der tillige tilfredsstiller de andre Forudsætninger, og om saadanne Rum, som ikke gjøre det. De kunne ogsaa i det ved Euklids Forudsætninger definerede Rum faa en saadan videregaaende Anvendelse, at f. Ex. rette Linier ombyttes med Kurver, der karakteriseres ved nogle af den sæd- vanlige rette Linies Egenskaber, saa de foruden denne ogsaa ind- befatter andre Linier. Den vigtigste af disse Almindeliggjørelser, den projektive Geometri, er dog ikke væsentlig opstaaet ved Spekulation over Axiomerne. Dens fleste Sætninger ere fremkomne ved Almindelig- gjørelser, som have vist sig hensigtsmæssige indenfor selve den paa alle Euklids Forudsætninger byggede Geometri. I Virkeligheden sætter den sig dog ud over nogle af disse Forudsætninger, og den kan derfor ogsaa fra først af opføres uden dem. Hvad man i den projektive Geometri ser bort fra, er Flytningsaxiomet og den derpaa grundede Lære om geometriske Størrelser, hvorved man — i det mindste saalænge den projektive Geometri ikke selv danner sig et nyt Begreb om Flytning og derved et nyt Størrelsesbegreb — heller ikke faar Brug for det ved Euklids øvrige Axiomer fastslaaede almindelige Størrelsesbegreb. Tilbage blive de i Postu- laterne indeholdte Forudsætninger, hvorved dog maa ses bort fra de Laan, som ogsaa deri ere gjorte fra Størrelseslæren. Derved falder dels tredie Postulat om Cirklens Bestemmelse helt bort, da Cirklen forud er defineret ved, at dens Radius skal have en uforandret Størrelse, dels falder Indskrænkningen i 5. Postulat