Matematikkens Historie I

118 Den græske Mathematik: bort, saaledes at dette kommer til at lyde: to rette Linier i samme Plan skjære altid hinanden i et Punkt. Man undgaar at komme i ligefrem Strid med den Geometri, hvor alle de Euklidiske Forud- sætninger benyttes, eller «den Euklidiske Geometri», ved. at tillægge denne sidstes parallele Linier uendelig fjerne Skjærings- punkter. Ved overhovedet ikke at spørge om, hvorvidt Skjærings- punkter ere uendelig fjerne eller ikke, kommer den projektive Geo- metri til at indbefatte baade den euklidiske og den i det følgende omtalte ikke-euklidiske Geometri. Den rette Linie faar i den projektive Geometri samme Egen- skaber som i den Euklidiske Geometri paa den Flytning nær, hvorved en ret Linie bragtes til at falde sammen med en anden, og Planens Egenskaber knyttes paa samme Maade som hos Euklid til den rette Linies. De to Forudsætninger, som knyttede sig til Planens Bestemmelse, vedblive. Idet man nu kun har disse og ikke mere Flytningsaxiomet at bygge paa, forstaas det, at den pro- jektive Geometri, naar den udvikles selvstændig, og man ikke be- tragter den Euklidiske Geometri som forud bekjendt, først faar noget virkeligt Indhold, naar man gaar uden for en enkelt Plan og derved kan komme til at bruge disse Forudsætninger. Hvad den Euklidske Forudsætning om lukkede Konturer angaar, viser det sig nemlig, at den ikke er saaledes uafhængig af de bortfalclne Forudsætninger, at den kan bibeholdes i den projektive Geometri; i denne faar man tvertimod to Slags lukkede Linier i Planen, af hvilke den ene skjærer en ret Linie.i et lige Antal Punkter (eller i intet), den anden i et ulige Antal. I Modsætning til den projektive Geometri er den saakaldte ikke-euklidiske Geometri netop fremkommen ved Spekulationer over de af Euklid opstillede Forudsætninger, særlig en enkelt af dem, nemlig den, som vi have truffet i det 5. Postulat. Disse Spekulationer forstaas maaske bedst, naar det bemærkes, at dette Postulat i de fleste Udgaver har fundet sin Plads blandt Axiomerne, hvor det ved Indskud af andre mindre 'ægte Axiomer har faaet Navnet «Euklids 11. Axiom». Medens et Punkts Bestemmelse som Skjæringspunkt mellem to rette Linier blandt Postulaterne var et naturligt Modstykke til den rette Linies Bestemmelse ved to Punkter, vakte den dertil knyttede Begrænsning særlig Opmærk- somhed, naar man traf den samme Forudsætning blandt de til Læresætningerne svarende Axiomer. Det Axiom, at to rette Linier, hvis indvendige Vinkler paa samme Side af en overskjærende tredie danne en Sum mindre end 2 rette, skjære hinanden til