Matematikkens Historie I

15. Anmærkning om Geometriens Forudsætninger. 119 denne Side, blev da en Modsætning til den Læresætning, at Linierne ere parallele, naar Summen er lig 2 rette. Denne sidste Sætning beviser Euklid i I, 27 og 16 ved Hjælp af de. øvrige Forud- sætninger; kan da det 11. Axiom og den deraf afhængige vigtige Sætning om Vinkelsummen i en Trekant ikke ogsaa bevises? Dette Spørgsmaal har i Tidernes Løb fremkaldt utallige Forsøg paa Beviser. Adskillige af disse kunne have haft en vis Berettigelse, for saa vidt de have sat saadanne andre Forudsætninger i Stedet for Euklids, hvis Rigtighed man vil være lige saa villig til paa Forhaand at indrømme som Euklids. Kun har man ikke altid, saaledes som Euklid, selv bemærket og tilstaaet, at man gjorde en Forudsætning. Vi skulle exempelvis nævne de Beviser for det her omtalte Euklid i ske Axiom eller for de dermed forbundne Sætninger, at en ret Linie er entydig bestemt ved at gaa igjennem et Punkt og være parallel med en given Linie, eller at Summen af Vinklerne i en Trekant er lig to rette, som have fundet Vej til gode danske Lærebøger fra vor og den nærmest foregaaende Tid. Af disse skyldes de, som vi finde hos Ramus og hos Opper- mann og Steen, den franske Mathematiker Legendre Mundt nøjes med at anskueliggjøre selve Axiomet og saa- ledes overtale Læserne til at antage det paa samme Maade, som de tidligere have antaget de øvrige geometriske Forudsætninger. Ramus knytter den Sætning, at to Vinkler i en Trekant bestemme den tredie til en Trekants Bestemmelse ved en Side og to hosliggende Vinkler. Størrelsen af en enkelt Side kan nemlig kun bestemme Maalestokken for den tegnede Figur og altsaa ingen Indflydelse have paa Trekantens Form, altsaa heller ikke paa Vink- lerne. De to givne bestemme altsaa den tredie. Man ser, at Beviset føres ved at slaa Forestillingen om Ligedannethed eller om en af Maalestokken uafhængig Form fast som geometrisk Forudsæt- ning, hvorpaa man vil bygge. Det, som her gjøres, svarer ganske til, hvad Euklid selv har gjort, da han i Flytningsaxiomet fastslog Kongruensen som geometrisk Størrelsesprincip. Oppermann og Steen nøjes ikke som Euklid med at be- stemme en Vinkels Størrelse ved Hjælp af Flytningsprincipet, men de lade Vinklens Størrelse være Forholdet mellem det af Vinklens Ben indesluttede uendelige Areal og hele Planens Areal. Hvis man nu gjennem et Punkt kunde trække to Paralleler med en given ret Linie, vilde hele den af den sidste Linie afskaarne ene Halv- plan, som netop er lig to rette, kun udgjøre en Del af en af de fire af de første to Linier dannede Vinkler, ' som ere mindre end