Matematikkens Historie I

120 Den græske Mathematik: to rette. Det ses let, at den nye Forudsætning her ligger i Vinkel- definitionen og gaar ud paa, at det i denne opstillede Forhold mellem to uendelige Størrelser har en bestemt Værdi. Jul. Petersen beviser, at Summen af de udvendige Vinkler til en Polygon er lig 4 rette, ved successivt at lade en ret Linie dreje sig om Vinkelspidserne fra den ene af de hosliggende Sider til den anden. Naar den kommer tilbage til sin oprindelige Stilling, siges den ialt at have drejet sig samme Stykke, som om den ved at dreje sig om et fast Endepunkt var vendt tilbage til sin oprindelige Stilling. Ogsaa her er man ikke bleven staaende ved den i Eu- klids Flytningsprincip liggende Karakterisering af Vinklen som Størrelse. Den er derimod defineret som Del af en hel Omdrej- ning; men heri ligger den Forudsætning, at denne Del har en Størrelse af en saadan Natur, at det bliver ligegyldigt, om man foretager en hel Omdrejning om et enkelt Punkt eller deler denne Omdrejning i Omdrejninger om forskjellige Punkter. At her virkelig gjøres en Forudsætning, der ligesom Euklids eget Axiom særlig skal gjælde om Planen, ses ved at forsøge at ombytte denne med en Kugleflade, de rette Linier med Storcirkelbuer. Da ophører Forudsætningen nemlig at være rigtig. At større Betydning med Hensyn til Euklids Axioms Forhold til hans egen Lærebygning er dog et Forsøg af Legendre, som virkelig holder sig til Euklids egne øvrige Forudsætninger. Paa Grundlag af disse kan han vel ikke bevise den almindelige Sætning om Vinkelsummen i en Trekant, men det lykkes ham dog at godt- gjøre, at Vinkelsummen ikke er større end to rette. En af de Veje, ad hvilke han naar dette Resultat, slutter sig nøje til et af Euklids egne Beviser, nemlig det i I. 16. Euklid beviser her, at Nabovinklen til en Vinkel C z\ i en Trekant A B C er større / X. / end hver enkelt af Trekantens / / to an<^re Vinkler f. Ex. A. Det / / godtgjøres ved at forbinde Midt- / punktet D af AC med B og ——————afsætte D Ai = BD. Trekanten Ai B C faar da samme Vinkel- sum som ABC og indeholder en Vinkel B C Ai — A -j- C i den oprindelige Trekant, hvoraf følger, at A C <; 2 rette, eller at A er mindre end Nabovinklen til C. Det er den her anvendte Operation som Legendre gjentager, idet han hver Gang sørger for, at den Vinkel, som her er kaldt B, er den mindste Vinkel i den Trekant,