Matematikkens Historie I

15. Anmærkning om Geometriens Forudsætninger. 121 som videre omdannes. Den nye Trekant, hvortil han kommer, har da bestandig samme Vinkelsum, og den indeholder en Vinkel, B eller A, som er lig eller mindre end Halvdelen af den foregaaendes mindste Vinkel. Ifølge et Princip, som Euklid senere opstiller i Forbindelse med Exhaustionsbeviset, kan man ad denne Vej tilsidst komme til en Trekant, hvori en af Vinklerne er mindre end en vilkaarlig opgiven Grænse. Euklids egen Sætning viser, at Summen af de to andre Vinkler er mindre end to rette. Man kan da let, om man vil ved Exhaustionsbeviset, bevise, at Summen af alle tre Vinkler, der er bleven uforandret den samme som i den først givne Trekant ABC, ikke er større end to rette. At man var kommen saavidt uden at benytte det 11. Axiom (5. Postulat), indeholdt en Opfordring til at gaa videre. Man maatte holde sig til, at Summen af Vinklerne i en Trekant kunde være lig eller mindre end to rette. Hvis det sidste var Tilfældet, kunde man bevise, at Vinkelsummen aftog, naar Trekantens Areal tiltog. Som Udgangspunkt for Undersøgelsen af, om rette Linier skar hin- anden, havde man nu kun det, vi have kaldt Forudsætningen om lukkede Konturer, men man sattes dog i Stand til at bevise, at Skjæringen mellem en given ret Linie og en Linie gjennem et givet Punkt finder Sted, naar Linien falder i det ene Par Topvinkler mellem to bestemte rette Linier gjennem Punktet. Andre Sætninger i denne saakaldte ikke-euklidiske Geometri, som er udviklet af Lobatchefsky og Bolyai, stemme mere med dem i den sædvanlige euklidiske Geometri. Endnu kunne vi nævne en Art Geometri, som af Euklids Forudsætninger udelukkende benytter den om lukkede Konturer og den tilsvarende rumlige Forudsætning. Man kalder den ana- lysis situs. Med de her antydede geometriske Undersøgelser af Geometriens Forudsætninger har man i vore Dage ogsaa forbundet erkj endel ses- theoretiske Spørgsmaal om, hvorfra vi have dem. Ere For- udsætningerne fuldstændig vilkaarlige? eller ei’e de byggede paa medfødte Forestillinger? eller indeholde de Sandheder, som man har lært at kjende ved Erfaring? I sidste Tilfælde tør man ikke sige, at de i Forudsætningerne indeholdte Paastande ere absolut rigtige, men kun at Afvigelserne have været for smaa til at kunne iagttages. Paa saadanne Spørgsmaal giver Euklid, efter hvad vi alt have sagt, aldeles intet Svar. Det er ham nok at opstille Forudsætningerne og at bevise, at naar de ere gyldige, er alt,