Matematikkens Historie I

16. Almindelig Proportionslære; Euklid V og VI. 123 hans Bog ses, at ogsaa denne geometriske Fremstilling giver et ret godt Overblik. Af de talrige Definitioner faa vi da kun Brug for de følgende tre: I Def. 4 siges, at to Størrelser danne et Forhold, naar Mangefold af hver enkelt af dem kunne bringes til at overgaa den anden. Hermed siges ikke blot, at Stør- relserne skulle være af samme Art, saaledes at de over- hovedet kunne sammenlignes. Dertil vilde det være nok at sige, at de skulle være saadanne, at den ene kan betragtes som større end den anden; men der udtales en videregaaende Fordring, som vil vise sig uundværlig saavel ved Proportionslærens Udstrækning til inkommen- surable Størrelser som senere hen for de infinitesimale Undersøgelser, som hos Euklid og Archimedes findes udførte ved det ogsaa af Eudoxos opfundne Exhaustions- bevis. l Def. 5 siges, at a : b = c : cl, naar ma=nb gjøre tn c = n d, og i 7, at a : b > c : d, naar der gives saadanne Værdier af m og n, at m a > n b men m c < n cl. Ganske vist bruges i 5 ikke udtrykkelig Ordene lige store om de to Forhold; men da der senere i Sætningerne 11 og 13 bevises, at a : b = c : d og c : d > e : f medføre, at a : b > e : f, bliver Talen netop om Lige- storhed. Betydningen af disse Definitioner paa et Forholds Størrelse bliver klar, naar det bemærkes, at de i Realiteten ere identiske med den moderne Bestemmelse af et irratio-