Matematikkens Historie I

124 Den græske Mathematik: nalt rent Tal ved rationale Tilnærmelsesværdier. For det første er nemlig et rent Tal en Størrelses Forhold til en Enhed af samme Art. Dernæst beror Euklids Sammen- ligninger netop paa Sammenligninger af Forholdene med TI rationale Tilnærmelsesværdier, —. in Vi skulle nu se, hvorledes Definitionerne lægges til Grund for en exakt Lære om Forhold og Proportioner. I 1—3 og 5—6 forudskikkes følgende Hjælpe- sætninger: m a 4- m b = m (a + 6), (1 og 5) m a + n a = (zn ri\, a, (2 og 6) n . m a = n m . a. (3) Vor Gjengivelse af de 3 sidste er dog for saa vidt noget fri, som der f. Ex. i 2 siges, at m a -J- n a er det samme Multiplum af a som m b n b af b; men saavel Beviserne — ved Opløsning af de hele Tal i deres Enere — som Anvendelserne stemme med vor Angivelse af Betydningen. Disse Hjælpesætninger og Definition 4 benyttes til at gjøre følgende Sætninger til simple Følger af Defini- tionerne 5 og 7: Naar er naar a >. b, naar og er a : b = c : d, m a : n b = m c : n cl-, (4) er a c > b : c, men c : a < c : b; (7 og 8) a : b — c : d c : d — e : f, d : b — e :f, (11) og af saadanne lige store Forhold kan dannes et nyt der- med lige stort, nemlig (a 4~ c 4~ é) : (b 4- d 4-/); (12)