Matematikkens Historie I

16. Almindelig Proportionslære; Euklid V og VI. 125 men naar a : b = c : d og c : d > e :f, er a : b > e -f. (13) Som Exempel paa Bevisførelsen skulle vi betragte 8, hvor der, idet a > b, kræves Bestemmelsen af saadanne to hele Tal m og n, at ma>nc>mb. Dette opnaas ved at ombytte Fordringen med følgende, som ifølge Definition 4 kunne opfyldes: m b > c og m (a — b) > c, (n — 1) c < m b < n c, hvoraf følger n c < m a. Sætningerne 9 og 10, som ere de omvendte af 7 og 8, bevises antithetisk. 1 14 bevises ved Hjælp af de fore- gaaende Sætninger, at naar a : b — c : d, vil a = c give b = d. I 15 bevises ved Hjælp af 12, at m a : m b = a : b. 16—19 indeholde følgende Omdannelser af Pro- portionen a : b — c : d. Den giver a : c = b d, (16) ( a — 6) ; b = (c — d) : d, (17) • (a 4- 6) : b — (c 4- cl) : d, (18) a : b = (a — c) : (6 — d). (19) 16 og 17 bevises ved Hjælp af Definition 5. I 16 benyttes derved de to foregaaende Sætninger. I 17 ud- leder man af den givne Proportion, at for alle Værdier af m og n m a = {m dr n) b giver m c = (m 4- ri) d,