Matematikkens Historie I

16. Almindelig Proportionslære; Euklid V og VI. 129 or — a __________ C — b _____— c _______ d — a a b ~ c a b -\- c Sætningen udtales imidlertid ikke blot om Summen af tre paa hinanden følgende Led, hvilken Euklid har anset det for tilstrækkeligt at betragte i Beviset. Da dette alene er bygget paa Sætninger i 5. Bog, er det almengyldigt, selv om Euklid i Øjeblikket kun medtager det, fordi han i den efterfølgende taltheoretiske Sætning har Brug for, at 1 + 2 4- 22 -J------2« = 2n + 1 — 1. Vi maa lægge saa meget større Vægt paa denne Fremstilling af Produkter og Potenser, som den langt ind i den nyere Tid er vedbleven at danne Grundlaget for saadanne a]gebraiske Undersøgelser, som gjorde Krav paa Almengyldighed og ikke indskrænkedes til ratio- nale Ta]. Sætning V, 24, som udsiger, at naar a : c. = d : f og b : c = e : /, er (a -f- 6) : c = (d -f- e): f, er nærmest af samme Natur som de, der gaa forud for Sætningerne om sammensatte Forhold, men kan først finde sin Plads her, fordi Sætning 22 benyttes til af de givne Proportioner efter Omvending af Forholdene i den anden at udlede, at a : b = d : e, hvorefter 18 giver (a 4- b) : b = (d -f- é) : e, og en ny Sammensætning af Forhold (22) fører til den Proportion, som skal bevises. Den første Anvendelse af (22) bliver interessant derved, at den viser, at Divi- 9