Matematikkens Historie I

16. Almindelig Proportionslære; Euklid V og VI. 131 ved en Linie, strækker den sædvanlige geometriske Algebra med to Dimensioner ikke til. I Sætning 1, hvor det bevises, at Trekanter og Parallelogrammer med samme Højde forholde sig som Grundlinierne, kommer den Euklidiske almindelige De- finition paa Forholds Ligestorhed til god Nytte. Idet lige store Grundlinier give lige store Arealer, giver umiddelbar Anvendelse af denne Definition den alminde- lige Sætning, og der bliver ikke Brug for de moderne Lærebøgers Udvidelse hertil fra det Tilfælde, hvor de ensartede Størrelser ere kommensurable. Efter denne Sætning følger i 2 og 3 Sætningerne om Paralleltransversaler i Trekanter og om en Trekant- sides Deling ved Halveringslinien af den modstaaende Vinkel. Derefter følge i 4—7 Hovedsætningerne om ligedannede Trekanter; de bevises ved Konstruktion af en Trekant, som bliver kongruent med den ene og lige- dannet med den anden af de givne. De anvendes strax (i 8) paa en retvinklet Trekant og de to, hvori den deles ved Højden paa Hypotenusen. 9—13 indeholde Deling af en ret Linie i lige store eller proportionale Dele, samt Konstruktion af tredie Pro- portional (o: fjerde Proportional til a, b og b), af fjerde Proportional og Mellemproportional. Den sidste Kon- struktion er den samme, som allerede i II, 14 paa Grundlag af den geometriske Algebra er anvendt til Bestemmelse af Siden i et Kvadrat ligt et givet Rektangel. Dernæst komme i 14—23 Sætningerne om Forhold mellem Figurers Arealer. Hovedsætningen 23 om ens- vinklede Parallelogrammers Arealer have vi allerede omtalt. I Beviset (i 19) for, at ligedannede Trekanters Forhold er — som vi sige — Kvadratet af et Par ens- liggende Siders, bringes dette sidste Forhold a : b til Brug ved Sammensætningen med sig selv paa Formen 9*