Matematikkens Historie I

17. Kommensurable Størrelser; Euklid VII—IX. 137 lægges til Grund for Prøvelsen af, om ifølge Def. 20 CL C = indkommer tillige den Forudsætning, at, naar det cl cl er Tilfældet, ska] i c = m . — den sidste Faktor — være n n et helt Tal, altsaa at, naar n gaar op i et Produkt m . d, og er indbyrdes' primisk med den ene Faktor m, maa den gaa op i den anden d. Denne Fundamentalsætning for Taltheorien er altsaa allerede lagt ind i Forudsæt- ningerne, og det faar følgelig ikke stor theoretisk Be- tydning, at Euklid senere paa Grundlag af disse beviser flere deri indbefattede Sætninger, saaledes i 30, at et Primtal, som gaar op i et Produkt, maa gaa op i en af Faktorerne. De omtalte Forudsætninger ere navnlig benyttede i Sætning 20, som gaar ud paa, at, naar CL C ~ = —J og c og d ere saa smaa som muligt, gaar c op i a, d i b, og denne Sætning danner et vigtigt Led i den Bevisførelse, hvorigjennem man naar til 30. Som bekjendt benytter man i et virkeligt Bevis for den nævnte Fundamentalsætning den Omstændighed, at naar a og b ere ind- byrdes primiske, er k største fælles Faktor for ka og kb, en Sæt- ning, som følger af Reglerne for Bestemmelsen af største fælles Faktor, men som Euklid ikke medtager. Hvad man savner hos Euklid, er et Bevis for, at den i 4 beskrevne Omdannelse af a til in. — er den eneste, for hvilken in og n ere indbyrdes primiske. Det ses vel heraf, at Euklid ikke lægger Grunden for Læren om hele Tal saa dybt som den for Geometrien og for Læren om almindelige kontinuerte Størrelser; men den Omhu, hvormed iøvrigt den talrige Række af væsentlig theoretiske Sætninger ere fremsatte og be- grundede, vidner dog dels om et rigtigt Blik for, at ogsaa Arithmetiken behøver en exakt Behandling, dels om nogen Brug af de Operationer, med hvis Theori