Matematikkens Historie I

18. Inkommensurable Størrelser; Euklid X. 139 fortjene vor fulde Opmærksomhed. Tvertimod hidrører den Vanskelighed, som man trods den omhyggelig gjennemførte Bearbejdelse nu finder ved at overskue Ind- holdet, fra, at det er en vanskelig Opgave uden noget Tegn- sprog at skjelne imellem de i denne Bog klassificerede irrationale Størrelser. At den dog, skjønt man lang Tid efter kan finde de derfra hentede Klassifikationer an- vendte, ikke har kunnet faa en saa varig historisk Be- tydning som meget andet hos Euklid, hidrører fra, at Tegnsproget allerede paa tidlige Trin af dets Udvikling, gav langt simplere Overblik over de forskjellige Arter irrationale Størrelser. Vi skulle ogsaa her nøjes med ved Hjælp af Tegnsproget at gjøre Rede for, hvilke de Stør- relser, som klassificeres, ere, uden at bekymre os om de Benævnelser, hvorved dette opnaas. For disses Vedkommende skal jeg kun for at forebygge direkte Mis- forstaaelser hos Læsere af Euklid gjøre opmærksom paa, at naar han taler om «rationale» Størrelser menes dermed ikke blot saadanne, som ere kommensurable med En- heden, men ogsaa saadanne, hvis Kvadrater ere det, og som altsaa «blot i Potens ere kommensurable» med Enheden. Ordet Enhed bruges dog ikke her saaledes som i cle taltheoretiske Bøger; men en vilkaarlig valgt Størrelse, som siges at være rational, spiller i denne Sammenhæng samme Rolle som en Enhed. Kommensurabilitet eller Inkommensurabilitet sikres, som berørt tidligere, ved direkte Forsøg paa at bestemme største fælles MaaL Inkommensurabiliteten kjendes paa, at denne Operation lader sig fortsætte i det uendelige idet de successive Rester aftage i det uendelige eller under enhver opgiven Grænse. Denne Aftagen i det uendelige tages m.ed samme videnskabelige Strenghed som hos de gamle enhver uendelig Tilnærmelse. Dette