Matematikkens Historie I

140 Den græske Mathematik: sker ogsaa her ved Hjælp af 4. Definition i 5. Bog, som i Sætning 1 omformes til, at man ved fra en given Stør- relse at subtrahere mere end Halvdelen, ligeledes fra den ny, ved Fortsættelse kan naa til en Størrelse, som ligger under enhver opgiven Grænse. Med denne Sæt- ning som Udgangspunkt foretages først nogle almindelige Undersøgelser af irrationale Støreiser uden Hensyn til, hvorledes de ere fremkomne, og af deraf dannede nye irrationale Størrelser. Dernæst komme særlige Under- søgelser vedrørende Kvadratrødder, derunder ogsaa de tidligere berørte Undersøgelser af Tilfælde, hvori disse vise sig at være rationale, navnlig af rationale retvinklede Trekanter. De Former for irrationale Størrelser, som videre opstilles, ere Ej erderød der af rationale Størrelser og Udtryk af Formerne p + P7jo2 — g, V~p^-^~q + p, V a -r / b samt disse Udtryks Kvadratrødder eller ret- tere, som vi skulle se et Exempel paa, visse Omdannelser af disse Kvadratrødder til Summer eller Differenser. Det Arbejde, som her er gjort foruden Opstillingen af de formelle Definitioner ved Angivelse af Ligninger (tildels fremstillede ved Udtryk for -fppij2 og xy), som føre til Størrelsernes Led, bestaar væsentlig i Beviser for, at de dannede Størrelser ere irrationale og i Al- mindelighed forskjellige indbyrdes. Dette sidste maa forbindes med en udtrykkelig Fremhæven af de særegne Tilfælde, hvor et Udtryk af en af Formerne kan reduceres til en simplere Form eller til at være sammensat af Udtryk af simplere Former. Herunder kommer den be- kendte Omdannelse af de dobbelt irrationale Udtryk P 4~ V"P2— q2 ti] enkelt irrational Form. Denne foretages i 54 og 91 henholdsvis for og —. Den samme Ændring anvendes derefter i 57 og 94 til at