Matematikkens Historie I

144 Den græske Mathematik: give ved Udtrykket 4 J A __ A ]/ 5, men idet Euklid 2 V 2 2 savner Midler til at opstille et saadant Udtryk, nøjes han med at opstille den Sætning, at Femkantsiden, naar d er rational, bliver irrational af den Form, som han i 10. Bog har kaldt «mindre Irrational», og at forme sin virkelige Bestemmelse som et Bevis for denne Paastand. At Beviset bliver saa vidtløftigt, beror paa, at det udtrykkelig maa eftervises, at den dobbelte Irra- tionalitet ikke kan hæves, i hvilket Tilfælde den irrationale Størrelse vilde høre til en anden Klasse. I 12 bestemmes Trekantsiden, og i 13 konstrueres et regulært Tetraeder og vises, at Kanten k er d ]/ naar d er den omskrevne Kugles Diameter. 1 14 konstrueres et regulært Oktaeder og vises, at k = d ]/ 2 15 konstrueres et regulært Hexaeder, og vises, at k = d / 3 16 konstrueres et regulært Ikosaeder og vises ved Angivelse af den virkelige Beregning, at Kanten er en «mindre Irrational». I 17 konstrueres et regulært Dodekaeder og bevises ved Angivelse af den virkelige Beregning, at Kanten henhører under de irrationale Størrelser, som kaldes Apotomer. 18 viser paa en og samme Figur Konstruktioner af de forskjellige Kanter. Denne Figur benyttes til at sammenligne dem indbyrdes. Konstruktionerne vise, at de 5 regulære Polyedre virkelig existere. I Bogens Slutning tilføjes Beviset for, at de ere de eneste mulige. De fleste Udgaver af Euklid indeholde endnu en saakaldet 14. Bog, som skyldes den noget senere