Matematikkens Historie I

146 Den græske Mathematik: af det den Gang af Mathematiken banlyste Uendeligheds- begreb, har saa bestemte Former, at den fortjener sit eget Navn. Vi ville bruge det, som man i det 17. Aar- hundrede har givet den, og kalde den Exhaustions- beviset. Dette bygges paa den Forudsætning, som er opstillet i 4. Definition i 5. Bog, eller sædvanligvis mere umiddelbart paa den deraf udledede Sætning 1 i 10. Bog, at man ved fra en Størrelse at borttage Halvdelen eller mere end Halvdelen og gjentage denne Operation et tilstrækkeligt Antal Gange kan naa ned til en Størrelse, der er mindre end en hvilken som helst opgiven Størrelse af samme Art. (I det moderne Sprog Lim a . ß . y ... = 0, naar a, ß, y o. s. v. ere |). Vi skulle lære Exhaustionsbeviset at kjende ved dets første Anvendelse i Euklid XII, 2 til at bevise, at to Cirklers Arealer forholde sig som Diametrenes Kva- drater. Forud er det i 1 bevist, at ligedannede, ind- skrevne Polygoner forholde sig som Diametrene. Beviset for 2 kan da, naar man vil udtrykke sig kort, siges at bestaa i at betragte Cirklerne som Grænserne for saa- danne Polygoner. Det er denne Grænseovergangs Paa- lidelighed, som sikres ved Exhaustionsbeviset. Den dertil tjenende Anvendelse af X, 1, hvilken først kommer inde i selve Beviset, gaar i dette Tilfælde ud paa, at man i en Cirkel kan indskrive en Polygon med saa mange Sider, at Differensen mellem Cirklen og den er mindre end en hvilken som helst opgiven Grænse. De Trekanter, som man ved en Fordobling af Sideantallet trækker fra de Segmenter, hvoraf denne Differens be- staar, ere nemlig halvt saa store som Rektangler, der helt indeholde disse Segmenter, ältsaa selv mere end halvt saa store som Segmenterne.