Matematikkens Historie I

8^i J 20. Exhaustionsbeviset; Euklid XII. 147 For nu, naar A og B ere Cirklerne, a og b deres , Radier, at bevise, at h A\B = a2 : b2, antages, at a 2 : b2 = A : C. For at prøve, om det da er muligt, at C < B, indskrives i A og B ligedannede, regulære Polygoner A' og B' med saa mange Sider, at B — B' < B — C, og altsaa B' > C. Da skulde man have I a2 : 6 2 = A : C = A' : B'; I men dette er umuligt, da A > A' men C< B'. Tilfældet C > B føres tilbage til det foregaaende, idet man af C B vilde kunne udlede: 62 . a2 = C; A — B: D, I hvor D < A. r Det er klart, at det samme Bevis altid, naar varie- rerende Størrelser A’ og B' have Grænseværdierne A og B, og Forholdet A' : B' har en konstant Værdi, kan bruges til at godtgjøre, at Forholdet A : B har samme Værdi. Naar specielt A' = B', giver det A = B. De gamle opstille imidlertid ikke, saaledes som man vilde gjøre i den moderne Infmitesimallære, denne Sætning en Gang for alle, hvad der vilde være det samme som at forklare og derved godkjende saadanne Begreber som uendelig Tilnærmelse. Saavel Euklid som senere Ar- chimedes gjentage derimod de samme Bevisformer hver enkelt Gang, der er Brug for dem. Allerede i 5, hvor det bevises, at to tresidede Pyra- x mider med samme Højde forholde sig som Grund- fladerne, har Euklid Lejlighed til at gjentage den anførte Bevisførelse efter i 3 og 4 at have vist, at 10*