Matematikkens Historie I

20. Exhaustionsbeviset; Euklid XII. 149 som fremkomme ved en Deling af en Pyramide, ere nemlig mindre end de to Prismer, da de kunne lægges saaledes, at de kun blive Dele deraf. Haves nu to Pyramider, A og B, med samme Højde, og bruger man som Tilnærmelsesværdier til disse Prisme- summer A' og B', dannede ved for begges Vedkommende at gaa lige vidt i Delingen, gjælder det (i 4) blot om at vise, at A' : B' er lig Forholdet mellem Grundfladerne (F og G\ Dette ses, naar vi for de to Pyramiders Vedkommende kalde Summen af de to første Prismer u1 og üx, af de 4 ved næste Deling fremkommende u2 og v2, af de 8 næste u3 og v3 o. s. v., ved at bevise at F: G = u± : v x = u2 : v 2 = u3 : v 3 • • • — A' : B'. Exhaustionsbeviset giver dernæst i 5, at A : B = F : G. Betydningen af den her brugte Fremgangsmaade forstaas bedst ved at bemærke, at Sætning 3 giver de Betingelser, som ifølge X, 1 sikre, at A=w1-|-w24-w3 o. s. v. i det uendelige. Denne Betragtning frister til nøjere at undersøge den konvergente Række. Det ses nu let og benyttes del- vis af Euklid i XII, 4, at et af de 2 lige store Prismer i ux er ligedannet med 2 af de 4 ligestore Prismer i u2 o. s. v., hvoraf følger at u2 = | w15 u3 = j u2, o. s. v. eller at A = (1 4- % (|.)2 4- • • •) = j u± — I u0, naar u0 betegner et Prisme med samme Højde og Grund- flade som Pyramiden P. For Rigtigheden heraf føres let et Exhaustionsbevis. Denne Fremgangsmaade anvender Euklid nu ikke. Mm