Matematikkens Historie I

154 Den græske Mathematik: f. Ex. en Cirkel, eller et Rumfang, f. Ex. af en Pyramide, bestemmes, i Spidsen og bruge den som Definition paa Arealet eller Rumfanget. De gamle derimod betragtede ethvert plant Areal og ethvert Volumen som definerede ved de almindelige Størrelsesaxiomer, som vi have ]ært at kjende af Euklids første Bog. At Cirklen er større end enhver indskreven og mindre end enhver omskreven Polygon, blev saaledes en umiddelbar Følge af 8. Axiom. Det var af Axiomerne i første Bog, at de Tilnærmelses- processer, som da anvendtes ti] Bestemmelserne og nu til Definitionerne, udledtes. Overensstemmelsen bestaar i, at man da som nu forlangte sikre Beviser for disse Processers Konvergens. De almindelige Størrelsesaxiomer strække imidlertid ikke ti], naar det gjælder om at bestemme en krum Linies Længde eller en krum Flades Areal. Disse Be- greber anser man det derfor nu for særlig nødvendigt at definere ved selve den Tilnærmelsesproces, hvorved Størrelserne virkelig bestemmes. Det viser sig, at i det mindste Archimedes havde Øje for den her paapegede Vanskelighed. Han raader ikke Bod paa den ved for- melle Definitioner af de nævnte Begreber, men opstiller i deres Sted efter de gamles Vis udtrykkelig — postu- lerer — de Forudsætninger, hvilke han foruden de almindelige Størrelsesforudsætninger anvender i de Til- nærmelsesprocesser, hvorved Størrelserne bestemmes, og i Beviserne for disse Processers Konvergens. Disse Forudsætninger opstilles som Postulater til hans Skrift om Kuglen og Cylinderen. De gaa ud paa, at 1) den rette Linie er den korteste Vej mellem to Punkter; 2) at af to Linier mellem samme Punkter, som vende Konvexiteten til samme Side, den yderste er den største;