Matematikkens Historie I

20. Exhaustionsbeviset; Euklid XII. 153 logiske Sikring, som det var Exhaustionsbevisets Be- stemmelse at give. Man betragtede uendelig smaa Størrelser som tilstrækkelig definerede ved deres Navn, og man kunde godt gjøre sig skyldig i at betragte en Størrelse som defineret ved en uendelig Række uden at sikre sig dennes Konvergens. Først i vort Aarhundrede have de Fordringer til Exakthed, som de gamle tilfredsstillede ved Exhaustions- beviset, igjen vundet fuld Anerkjendelse. Man opfylder dem netop ved at føre saadanne Beviser for Grænseværdi- ernes Existens og Entydighed, som i det væsentlige falde sammen med Exhaustionsbeviset. Kun fører man det nu — som vi alt ved den første Anvendelse af Exhaust- ionsbeviset antydede, at man kan — engang for alle eller anvender det, dog kun ved Behandlingen af saa almindelige Begreber som en uendelig Rækkes Sum eller et bestemt Integral, medens man i Oldtiden gjentog det for hver enkelt Anvendelse. En ikke uvæsentlig Formforskjel, der vel ikke ved- rører Slutningernes Stringens, men kun hidrører fra det forskjellige Udgangspunkt, er dog tilstede mellem Old- tidens og Nutidens Behandling af disse Spørgsmaal. Den traadte allerede frem, da Talen i Almindelighed var om Størrelsers Kontinuitet. Denne forudsættes af de gamle umiddelbart at være tilstede ved de geometrisk fremstillede Størrelser i Euklids fire første Bøger, og det er først bag efter, at man i femte Bog lærer arith- metiske Midler at kjende, som man ogsaa kan bruge til at sammenligne Størrelser, som ikke ere kommensurable. Nu stilles snarest denne arithmetiske Størrelsesbestemmelse i Spidsen og anvendes først bag efter paa de mere empiriske, kontinuert varierende Størrelser. Ligeledes vil man nu ofte stille den konvergente, arithmetiske Til- nærmelsesproces, ved hvilken Arealet af en plan Figur,