Matematikkens Historie I

20. Exhaustionsbeviset; Euklid XII. 155 3) at et plant Areal er mindre end et krumt med samme Omkreds; 4) at af to krumme Arealer med samme (plane) Omkreds, som vende Konvexiteten til samme Side, det yderste er det største. Det er aabenbart en Misforstaaelse, naar man under- tiden i det første af disse Postulater — revet ud af sin Sammenhæng — har villet se en Definition paa en ret Linie. Nej det og det følgende Postulat tjene til Definition paa en krum Linies Længde, de to andre paa en krum Flades Areal. At disse indirekte Definitioner ere til- strækkelige. viser sig ved, at de virkelig kunne bruges til Bestemmelserne. Derimod indeholde 2 og 4, som ganske vist ikke helt kunde undværes, noget mere end strengt nødvendig. Idet vi nu her ogsaa have lært de almindelige Principer at kjende, som Archimedes benyttede for at sikre sine infinitesimale Bestemmelser ved Exhaustions- beviset, kunne vi i det følgende nøjes med at angive de Dekompositioner, hvorved Bestemmelserne udførtes, og de derved opnaaede Resultater uden at behøve at gaa ind paa Enkeltheder i den strenge Bevisførelse. 21, Archimedes’ infinitesimale Bestemmelsen Skjønt Archimedes’ overordentlige Fortjenester ogsaa vise sig paa andre Omraader, som tildels ere eller senere ville blive omtalte, lægger hans skabende Kraft sig dog fremfor alt for Dagen dels i de infini- tesimale Undersøgelser, for hvilke Eudoxos alt havde lagt en saa paalidelig Grundvold, dels i Lige- vægtslæren, hvoraf man ikke kjender nogen exakt Behandling før Archimedes. I disse Undersøgelser faar