Matematikkens Historie I

21. Archimedes’ infinitesimale Bestemmelser. 159 uden Integration, nemlig Bestemmelsen af en Trekants Tyngdepunkt. Om virkelige Integrationer kunne vi derimod tale i Skrifterne om Spiralerne og om Konoider og S fæ roide r. Archimedes opstiller nemlig Sætninger, der nøje svare til vore Formler x d x = I c2 O Og x2 d x = c3 , og anvender dem paa indbyrdes forskjellige geometriske Bestemmelser, som man nu — paa den ved hvert enkelt Spørgsmaal gjentagne Anvendelse af Exhaustionsbeviset nær — vilde udføre paa samme Maade ved Hjælp af de anførte Integralformler. Disse Sætninger, af hvilke den første anføres i Indledningen til Skriftet om Konoider og Sfæroider, den sidste i et Tillæg til Sætning 10 om Spiraler, ere følgende: ^~-h<h + 2h + Sh+ ... » A < +11! A, 2 ~ A2 < A’+ (2 Å)2-i-(3 + . ■ ■ (n A)» <(1±-—A®. ° 3 Den første er en umiddelbar Følge af Summationen af Leddene i en Differensrække, som sikkert længe havde været bekjendt. Den sidste beror paa en i Hovedsæt- ningen 10 udført Summation af den paagjældende Række. Archimedes finder, at 3 [h2 4- (2 h)2 + (3å)M---------F (n Æ)2] = [n + 1) (n li)2 H- h (A -f- 2 h -|- 3 h -|-n h\ Beviset, i hvilket h, 2 h o. s. v. fremstilles som Linier, kan, naar vi betragte h som Enhed, og kalde selve den søgte Sum af Kvadrater s, gjengives saaledes: