Matematikkens Historie I

160 Den græske Mathematik: (Ai+l)./Z2=7Z24- 1) + 1]2+ [(/z—2) + 2]2... + [2 + (n — 2)]2 -(- [1 —1)] 2 4- 72 2 == 2 . s 4- 2 . (n - 1) 4- 4 . (n— 2) + 6 . (n— 3) -f- ... 4- 2 (72 — 1) . 1 Adderes hertil (n n — 1 n — 2 -[- • • • 1) faas 2 s n -j- 3 . (n — 1) 5 . (n — 2) -f- • • • (2 n — 1) . 1. At denne Størrelse netop er 3 s, fremgaar ved Summation af følgende Ligninger, hvis Rigtighed følger af Formlen for Summen af Leddene i en Differensrække: n* = n 2 (n — 1 n — 2 -j- ... 1) (n — 1) 2 = n ____ i 2 (n - 2 + n — 3 --------------------------------1) (n — 2) 2 = ii — 2 4- 2 (n — 3 -f- n — 4 1) Denne Summation er et værdifuldt, algebraisk Bi- produkt af Archimedes’ Undersøgelse. Den Anvendelse, som Archimedes gjør heraf i Skriftet om Spiralerne, er Beregningen af en Sektor af en Archimedisk Spiral r = a.ti. Arealet af en saadan er 1 pr, r2 __ r2 dr, 2 a J r0 og findes altsaa ved den sidste af de to anførte Inte- grationer. Archimedes bestemmer Forholdet til Arealet af en Cirkelsektor med Radius r, og opnaar dette ved Deling af Vinklen —#0 og dermed af Sektorerne, Konstruktion af og Sammenligning med Cirkelsektorer, som indesluttes i og omslutte Spiralsektorerne, samt An- vendelse af Exhaustionsbeviset. Ved Konoider betegnes dels Omdrejningsparabol- oider, dels Omdrejningshyperboloider med to Net, af hvilke dog kun det ene betragtes. Sfæroider ere Omdrejnings- ellipsoider. I Skriftet om disse Arter Flader bestemmer