Matematikkens Historie I

21. Archimedes’ infinitesimale Bestemmelser. 161 Archimedes Rumfang af Segmenter begrænsede af en saadan Flade og en vilkaarlig Plan. Archimedes viser sig i Stand til at bestemme Beskaffenheden af et vil- kaarligt plant Snit i en saadan Flade og udtrykke dets Axer ved Hjælp af de Stykker, som dets Plan afskjærer paa den tilhørende Diameter til Fladen. Han har end- videre fundet Arealet af en Ellipse, hvilket let sker ved Sammenligning mellem indskrevne Figurer i den og i en Cirkel over dens ene Axe som Diameter. Volumen- bestemmelserne føres da tilbage netop til de Integrationer, som vi have set, at Archimedes kjendte i en anden Skikkelse. De to anførte Skrifter ere mærkelige i flere Hen- seender end ved de deri indeholdte Areal- og Volumen- bestemmelser. Skriftet om Konoider og Sfæroider giver saaledes, som det vil ses af det alt anførte, Op- lysninger om Archimedes’ Kjendskab til Keglesnittene. I Skriftet om Spiralerne findes nogle tidligere omtalte «Indskydninger». Til Skriftets Hovedopgave hører foruden Area]bestemmelsen endnu en anden infinitesimal Opgave, nemlig Bestemmelsen af Tangenter til Spiralerne. Dertil benytter Archimedes, selvfølgelig under behørig Kontrol af Exhaustionsbevisst, den samme infinitesimale Trekant, som nu bruges til Tangentbestemmelse for Kurver frem- stillede i polære Koordinater. Resultatet bliver, at Polar- subtangenten er r . Subtangenterne i Endepunkterne af de forskjellige hele Omløb af Spiralen fik — som vi tidligere have berørt — for Archimedes særlig Inte- resse derved, at de ere retliniede Fremstillinger af Cirkelperiferier. Den vigtigste integrationslignende Bestemmelse, som skyldes Archimedes, turde dog hans Bestemmelse af Kuglens Overflade være. Fremgangsmaaden er om end 11