Matematikkens Historie I

22. Archimedes’ Ligevægtslære. 165 Vægtstangen, til hvis egen Vægt der ikke tages Hensyn, er da i Ligevægt, naar den understøttes i B. Beviset føres ved at dele Vægtstangen i et Punkt D saaledes at A D : D C=P: Q og paa dens Forlængelse afsætte E og F saaledes, at E A — A D og CF—D C Man kan da, uden at forandre Ligevægtsforholdene, fordele P’s Vægt jevnt over ED og Q’s Vægt jevnt over DF, hvorved hele Vægten P + Q bliver fordelt jevnt over E F. Paa Grund af Symmetrien er der da Ligevægt, naar E'ty'P under- støttet i sit Midtpunkt B. I første Bog af sit Skrift om plane Figurers Ligevægt fører Archimedes et saadant Bevis uden dog at gjøre Brug af en kontinuert Fordeling. Han behandler først det Tilfælde, hvor P og Q ere kommensurable og altsaa kunne fordeles i Punkter med lige store Afstande, og gaar dernæst ved Exhaustionsbeviset over til det Tilfælde, hvor P og Q ere inkommensurable. Han har som sæd- vanlig udtrykkelig opstillet de Forudsætninger, hvorpaa Beviset bygges, hvilke her ere Betingelserne for Ligevægt eller Mangel paa Ligevægt for en ligearmet Vægtstang. For det følgendes Skyld opstilles endnu de Forudsæt- ninger, at, ligedannede Figurers Tyngdepunkter maa være ensliggende Punkter, og at Tyngdepunktet af en Figur, hvis Konvexitet overalt vender ud ad, maa falde paa selve Figuren. Hvis de Beviser for, at en Trekants Tyngdepunkt er Medianernes Skjæringspunkt, hvormed Bogen slutter, nu forekomme unødig vidtløftige, beror det paa, at de have skullet bygges paa de udtrykkelig opstillede Forudsætninger. Vi have allerede set den Brug, som Archimedes gjorde af disse Ligevægtssætninger for at finde Arealet af et Parabelafsnit. Senere har han i anden Bog af