Matematikkens Historie I

23. Læren om Keglesnit før Apollonios. 173 P projicerede Linie afskjæres mellem P og Kegle- fladen, er f=PM .PM^k .PN .PNV hvilket netop er den Egenskab, hvorved vi have karak- teriseret en Ellipse eller Hyperbel. Den her benyttede plangeometriske Sætning forud- sættes bekjendt og har altsaa vistnok ogsaa før Archi- medes været benyttet til Udledelse af Keglesnittenes Egenskaber. Den gjælder, ifølge den saakaldte Potens- sætning, som vi senere skulle omtale, og som var kjendt af Archimedes, ogsaa naar Punkterne M, N, ere beliggende paa et vilkaarligt Keglesnit. Archimedes kunde derfor i det anførte Skrift om Om- drejningsflader af anden Orden bestemme plane Snit i disse ganske paa samme Maade. Naar vi have antaget, at Menaichmos’ Opdagelse væsentlig var den, at Parablen, Ellipsen og Hyperblen kunne fremstilles som Keglesnit, have vi dermed maattet forbinde den Antage]se, at de i det mindste delvis have været undersøgte forud, navnlig i Forbindelse med det deliske Problem og paa Grundlag af de Egenskaber, som nu fremstilles ved deres simpleste Ligninger. Denne Antagelse støttes i høj Grad af den Omstændighed, at det i alle senere Undersøgelser hos græske Forfattere er disse plangeometriske Egenskaber og ikke Fremstillingen som Keglesnit, der lægges til Grund. Den bidrager ogsaa til at forklare, at Læren om Keglesnit strax efter Menaichmos kunde udvikle sig saa rask hos Grækerne, som Tilfældet var. Interessen for den maatte voxe derved, at man snart maatte se, at Keglesnittene ikke blot som af Menaichmos kunde anvendes til Konstruk- tionen af de to Mellemproportionaler, men ogsaa ved Løsningen af mange andre Opgaver, som man forgjæves