Matematikkens Historie I

24. Apollonios’ Keglesnit. 177 uendelig mange Diametre, og i Slutningen af Bogen konstrueres endelig saadanne Diametre, som staa vinkelret paa deres Korder, og vises, at Kurverne efter Henførelse til disse kunne indlægges som Snit i Omdrejningskegler. Først da har Identiteten af de af Apollonios behandlede Kurver med de alt kjendte Keglesnit været fuldt godtgjort. Disse sidste Resultater udgjøre altsaa det Maal, som Apollonios har haft for Øje under Opførelsen af hele første Bog, der er et udpræget Exempel paa, hvad vi have kaldt en synthetisk Lærebygning. Undervejs har han dog dels været nødt til, dels skaffet sig Lejlighed til at fremstille mange Egenskaber ved Kurverne, som der i de senere Bøger kan være Brug for, eller som i og for sig ere værd at kjende. Saaledes medtages Læren om Tangenterne og deres Bestemmelse som Indledning til den for Bogens Hovedformaa] nødvendige Lære om Diametre til parallele Korderækker. Hvis man vil give en Forestilling om de benyttede Fremgangsmaader, kan det bedst ske ved Sammenligning med den nuværende analytiske Geometris algebraiske Omdannelser af Ligningerne til de nye Former, som faas ved Henførelse til nye Koordinatsystemer, og over- hovedet med den analytiske Geometris algebraiske Ope- rationer. Disse fremstilles blot ved Hjælp af den geo- metriske Algebra. Dennes Brugbarhed hertil vil man bedst fatte ved at se den geometriske Form, hvorunder Apollonios fremstillede de Ligninger for Keglesnittene, som han udledede af deres Beliggenhed paa selve Keglen. I disse Ligninger henføres de som allerede sagt til en Diameter og de dertil hørende halve Korder som Ordi- nater. Lad A B være en Diameter 2a i en Ellipse eller Hyperbel, C D en halv dertil hørende Korde. At da 12