Matematikkens Historie I

182 Den græske Mathematik: y2> y'2 px + Jr—x2 p x' Z x' 2 ’ 1 2 a 1 2 a hvor for Parablen ombyttes med 0. For Ellipsens og Hyperblens Vedkommende viser Apollonios, at dette opnaas, naar Tangenten og Ordinaten i (x', y'} dele Diameteren harmonisk (en Benævnelse, der dog er af nyere Oprindelse). Beviset er noget for vidtløftigt til at gjentages her. Derimod kan hans Bevis for, at den Linie fra et Punkt (x' y'} af Parablen y2 =px, som skjærer Abscisseaxen i Punktet (— x', 0), er Tangent til. Parablen, omtrent gjengives paa følgende Maade. Er (xy) et Punkt af denne Linie, bliver y2 = y'2 {xf x)2 4 x'2 ’ Da man nu fra Euklid véd, at Mellemproportionalen mellem to Størrelser er mindre end Middeltallet, eller , (% 4- a5'\2 ! t 7 2 y'2 at x x < I —4— i bliver -— > \ 2 / x x Naar man ret ser, hvor godt og fuldstændig Grunden er lagt i Apollonios’ første Bog, forstaar man bedst, hvorledes han kan hæve sig saa højt i flere af de andre Bøger, navnlig i 3. og tildels i 5. Bog. Vi maa her nøjes med i al Korthed at angive disse forskjellige Bøgers IndhoM. I 2. Bog1 vises Hovedegenskaberne ved Asymptoter og konjugerede Diametre. Foruden sammenhørende Grene af en Hyperbel betragtes ogsaa konjugerede Hyperbler beliggende i forskjellige Vinkler mellem de samme Asymptoter og med de samme Længder af Dia- metrene. Der tillægges nemlig ogsaa de Diametre, som