Matematikkens Historie I

24. Apollonios’ Keglesnit. 183 ikke skjære Kurven, Længder, der i Virkeligheden blive de samme, som man nu benytter. Desuden løses forskjellige Opgaver vedrørende Diametre og Asymptoter, deriblandt Konstruktion af Centrum og Axer til et tegnet Keglesnit, Konstruktion af en Tangent, som danner e-n given Vinkel med Diameteren til Røringspunktet o. s. v. 3. Bog indeholder først og fremmest saadanne Sætninger, som vedrøre Kurvernes Punkter uafhængig af Diametre og Axer. Til Grund for disses Udledelse lægges den allerede nævnte Areal sætning, der i Virke- ligheden er en Henførelse af Kurven til to ikke konju- gerede Diametre. Det forstaas, at den kan danne et godt Udgangspunkt for Beviset for den ogsaa af Archi- medes kjendte Potenssætning, som vi alt have omtalt; denne vedrører nemlig Korder med givne, men vilkaarlig valgte Retninger. Hovedsætningerne om Pol og Polar forefindes ogsaa. Endelig forekommer et Keglesnits Frem- bringelse ved to saadanne Liniebundter, som man nu kalder projektive. Bundternes Midtpunkter ere (se om- staaende Figur) vilkaarlige Punkter A og C af Kurven, og de til hinanden svarende Linier bestemmes som Linier AM og CM, der paa Linier CP og A Q parallele hen- holdsvis med Tangenterne i A og C afskjære Stykker C P og A Q, der danne et Rektangel af konstant Areal. Man ser let, at alle disse Sætninger blive ufuld- stændige og lidet overskuelige, naar en enkelt Hyperbel- gren betragtes alene for sig. Det forstaas derfor, at Apollonios’ nye Opfattelse af de to Kurvegrene navnlig har givet hans tredie Bog et væsentligt Fortrin for tidligere Behandlinger af samme Emner, selv om de enkelte Sætninger i mere begrænset Skikkelse have været kjendte forud. En anden Række Sætninger i samme Bog indeholde de simplest© Bestemmelser af Tangenter uden Brug af