Matematikkens Historie I

25. Rumlige Steder og Opgaver. 187 kan antages at hidrøre fra, at de ere bestemte til Løs- ning af rumlige Opgaver. Allerede i den senere Oldtid antog man dog, at omvendt Navnet rumlige Steder var det oprindelige og hidrørte fra Keglesnittenes stereo- metriske Definition. Desværre er Aristaios’ Skrift, hvori Keglesnittene skulle være behandlede særlig som geometriske Steder, tabt, og vi vide intet om nogen senere Afløser af denne meget gamle Behandling. Da dog Apollonios’ Kegle- snitslære har behandlet det samme Emne fra en anden Side, kan man deraf slutte, hvilke «rumlige» Steder man har kjendt, eller dog let maattet kunne finde, naar der i en Opgave var Brug derfor. Allerede af Apol- lonios’ første Bog ser man, at dette ej blot maatte være Tilfældet, naar visse givne Linier st.rax viste sig at være konjugerede Diametre eller deslige. I Arealsæt- ningen henføres Kurven nemlig til to ikke-konjugerede Diametre. Tredie Bog fører os imidlertid videre dels ved sin egen almindeligere Karakter, dels ved Apol- lonios’ udtrykkelige Angivelse af, hvortil den skal bruges. Hans særlige, vistnok ved Indførelsen af de to Hyperbelgrene fuldstændiggjorte, Behandlingsmaade skal nemlig efter hans egen Opgivelse udfylde Manglerne ved de ældre Bestemmelser af rumlige Steder. Blandt disse nævnes udtrykkelig Stedet til 3 og 4 Linier. Stedet til 4 Linier er den Kurve, der, naar x, y, z, u betegne et Punkts Afstande, regnede paa Skraalinier af givne Ret- ninger, fra fire faste Linier, og naar k er en Konstant, fremstilles ved Ligningen x z = k y u. Stedet til 3 Linier fremstilles paa lignende Maade ved Ligningen x z = k i/2.