Matematikkens Historie I

188 Den græske Mathematik: Ældre, ikke ganske fuldstændige Beviser for, at disse Steder ere Keglesnit, maa Apollonios forudsætte saa vel kjendte, at hans Læsere, uden at selve Beviserne gjentoges, kunde se, at de fuldstændiggjøres ved hans 3. Bog. Denne maa altsaa have fuldstændiggjort de Forudsætninger, hvorpaa man forud byggede og skulde vedblive at bygge disse Beviser. Vi, der ikke kjende de ældre Bestemmelser af Stederne, kunne kun af det, der foreligger i Bogen, forsøge at slutte os til disse. Dette er ikke saa vanskeligt for Stedet til 3 Linier, der fremgaar ved en Omdannelse af den Frembringelse ved projektive Bundter, som vi have lært at kjende. Stedet til fire Linier kan i det Tilfælde, hvor to modsatte Linier, y = 0, u = 0, ere parallele, udledes af Potenssætningen. At der allerede herved er naaet meget, ses bedst ved en Sammenstilling med den analytiske Geometris Fremstilling af et «rumligt Sted». Tages blot et Punkt af dette til Begyndelsespunkt, faas der en Ligning af Formen a x2 -\-bxy-[-cy2 d x e y = 0 eller x (a x + b y 4- d) = — c y Kurven fremstilles altsaa netop som Sted til fire Linier, hvoraf to modstaaende ere parallele. Idet nu de gamles Omlægninger af Arealer og Indførelse af Koefficienter ved Proportionslæren svare nøje til vor algebraiske Behandling af Udtryk af anden Grad, vil den nuværende Fremstilling af en Kurve ved en al- mindelig Ligning af anden Grad have svaret temmelig nøje til de gamles Fremstilling som Sted til fire Linier, hvoraf et Par modstaaende ere parallele. Hertil lod ogsaa det almindelige Sted til fire Linier sig føre tilbage.