Matematikkens Historie I

192 Den græske Mathematik: falder paa eller udenfor de Intervaller, som den fore- liggende Opgave maatte kræve; men hvad der tillige ved alle disse Opgaver bliver en Hovedsag, er at kjende de Grænsetilfælde, i hvilke Keglesnittene berøre hinanden, og altsaa to Rødder falde sammen; thi derved dannes Overgangen imellem de Tilfælde, hvor disse to Rødder ere reelle, altsaa virkelig kunne existere efter den da gjældende Opfattelse, eller ej. I det opbevarede Brud- stykke angives dette Overgangstilfælde at indtræde, naar x — f a, altsaa naar b2 c = a3. Er derimod x > I a, maa man have b 2 c < <z3/som altsaa bliver Betingelse for 2 Opløsninger. Dette bevises let ved Hjælp af Sætninger om Keglesnittenes Tangenter. Skal nemlig Tangenten til Parablen i Punktet P berøre Hyperblen, hvis Asymptoter ere Linierne y = 0 \ / og y — a maa P være Midtpunktet !// af det Stykke, som disse afskjære. y Dens Spor S paa Abscisseaxen, som er Parablens Toppunktstangent, ^// l skal fremdeles være Midtpunktet D /$ q z me]]em P og Skjæringspunktet med / Ordinataxen. Deraf udledes, at P's 7 Abscisse D Q — | D Z. At, som Archimedes siger, Mulighedsbetin- gelsen 6 2 c < a 3 virkelig er opfyldt ved Kugledelingen, hvor Punktet B falder i Q og T mellem Q og Z, over- beviser man sig let om. Man faar dog kun 1 Opløsning, da Punkterne X ville falde hvert paa sin Side af B, og kun det, som falder paa D B kan bruges. Archimedes fører saaledes sin Opgave angaaende Kugledelingen tilbage til en Tredjegradsligning af meget almindelig Form, der som alt bemærket ogsaa giver et Bevis for sidste Sætning i 2. Bog om Kuglen