Matematikkens Historie I

200 Den græske Mathematik: Trangen traadte frem ved Eratosthenes’, i Sammen- ligning med tidligere Maalinger, nøjagtige Bestemmelse af Ekliptikas Heldning og ved hans Gradmaaling. Til ved den sidste at benytte Polhøjdeforskjellen og Af- standen mellem to Steder med omtrent samme Længde til Bestemmelse af Jordens Diameter krævedes netop en taalelig god Bestemmelse af n. Archimedes var det, der i sin Cirkelmaaling overvandt Vanskelighederne ved at opnaa en saadan. Vi skulle her kortelig gjøre Rede for Indholdet af hans Skrift, hvori dog desværre ingen Oplysning gives om, hvorledes han besejrede de største af Vanskelighederne nemlig Kvadratrodsbestemmelserne. Archimedes begynder med at føre et Exhaustions- bevis for, at Cirklen har samme Areal som en Trekant med Periferien til Grundlinie og Radien til Højde. Derved føres Cirklens Kvadratur tilbage ti] Cirkel- periferiens Beregning. Archimedes beviser, at dennes Forhold til Diameteren, altsaa det Tal, som i den nyere Tid har faaet Navnet n, er mindre end 3 | men større end 3 Det bevises derved, at selv den ind- skrevne 96-Kants Perimeter er større end 3 cl, og selv den omskrevne 96-Kants Perimeter er mindre end 3 i cl, naar vi ved d betegne Cirklens Diameter. Hertil kommer Archimedes ved af Forholdene mellem Siderne i en retvinklet Trekant med en vis Vinkel, x, at bestemme Forholdene mellem Siderne i en retvinklet Trekant med den halve Vinkel, | x. Idet han søger den højere Grænse for Periferien, lader han en hosliggende Kathete til x og | x være fælles; idet han søger den lavere Grænse, Hypotenusen; men i begge Tilfælde kan den fundne Relation mellem For- holdene i vor Tids trigonometriske Sprog gjengives ved , , sin x ( „ tq x \ tg ± x = -------- eller-----. 1 + cos x \ see x 4-1/